(递归和循环)#10 斐波那契数列
一、斐波那契数列
定义:
n = 0 , f(n) = 0
n = 1 , f(n) = 1
n > 1 , f(n) = f(n-1) + f(n-2)
思考与记录
本题可用递归或循环方法求解,但递归时间复杂度高,有很多重叠部分,并且数字大时容易造成堆栈溢出。一般循环方法比较好。还有第三种方法基于矩阵乘法实现,虽然用的很少,但是解答思路算作一种积累。
二、跳台阶
我们可以将n级台阶的跳法,看做是n的f(n)函数
当 n = 1 时,只有一种跳法
当 n = 2 时,有两种跳法
当 n > 2 时, 第一次跳有两种选择:跳一级台阶时,则还剩n-1,后面则为f(n-1):跳二级台阶时,则还剩n-2,后面则为f(n-2)
由此可以看出n级台阶的总数为f(n) = f(n-2) + f(n-1),实际为斐波那契数列问题
三、变态跳台阶
总的跳法,最后用数学归纳法,可以证明f(n) = 2**(n-1)次
四、矩形覆盖
同跳台阶,都是斐波那契数列问题