关于矩阵相乘
上图中
代表一个向量，严格说是一个向量的“系数向量”， 该向量的基是标准基 。在求解方程 的过程中，其实就是在求解：如果想用矩阵 的列向量来表示 向量 , 那么对应的系数向量 应该是什么呢？结果就是 。反指亦然。这就是图 2的一个解释。
特别的，当矩阵
是一个标准正交矩阵时候，由于 (* 代表矩阵的共轭转置Hermitian transpose) 因此上图也可以改为：
矩阵的奇异值分解（Singular value decomposition, SVD）
任何矩阵
都可以找到一组标准正交向量组成的矩阵 ,使得:其中 也是标准正交向量组成的矩阵， 除了主对角线上的元素都是0.
换句话就是对于一个矩阵
，总能找到一组相互垂直的向量( 的列向量)，这组向量被矩阵 “作用”过之后亦然是一组相互垂直的向量（ 的列向量），但是 中列向量的长度被缩放过。
翻译过来就是：对于随便一个矩阵
, 都可以找到一组标准正交向量，( 的列向量)在 的作用下得到另外一组（被缩放过的）互相正交的向量 （其中 )是标准正交向量组， 是缩放系数）。
图4的一个
的矩阵 ,能找到一组正交的向量 ,作用之后得到了另外一组正交的向量 , 不过每个向量被缩放过（ ）
由于标准正交矩阵转置就可以得到该矩阵的逆矩阵(
)，因此：可以写成 ,。其中 是向量 在标准坐标基 下的系数向量。根据 图 3，操作 相当于把标准坐标基 下的系数向量 先转化为以 的列向量为基的系数，然后 在进行缩放（ ），得到以 列向量为基的向量系数。这一系列操作恰好与“对于随便一个矩阵 , 都可以找到一组标准正交向量，( 的列向量)在 的作用下得到另外一组（被缩放过的）互相正交的向量 （其中 )是标准正交向量组， 是缩放系数）”契合。
