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【运筹学】线性规划数学模型 ( 知识点回顾 | 可行解 | 最优解 | 阶梯型矩阵

时间：2022-09-20 06:52:23

文章目录

一、知识点回顾1、线性规划三要素2、线性规划一般形式3、线性规划标准形式二、线性规划解、可行解、最优解三、阶梯型矩阵四、阶梯型矩阵向量五、基、基向量、基变量、非基变量

一、知识点回顾

1、线性规划三要素

线性规划三要素 :

决策变量: x1,x2,⋯x_1 , x_2 , \cdotsx1,x2,⋯目标条件: 决策变量的线性函数 , 求最大值或最小值 ;约束条件: 一组由决策变量组成的等式或不等式 ;

2、线性规划一般形式

max(min)z=∑j=1ncjxj{∑j=1naijxj=bi(i=1,2⋯m)xj≥0(i=1,2⋯n)\begin{array}{lcl}max (min) z = \sum_{j=1}^{n}c_j x_j\\ \\ \begin{cases} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = b_i & (i = 1 , 2 \cdots m) \\ \\x_j \geq 0 & (i = 1 , 2 \cdots n) \end{cases}\end{array}max(min)z=∑j=1ncjxj⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1naijxj=bixj≥0(i=1,2⋯m)(i=1,2⋯n)

3、线性规划标准形式

标准形式特点及转化步骤 :按照如下顺序进行处理 ;

约束条件都是等式 , 且右侧常数 ≥0\geq 0≥0 , 小于等于不等式加上松弛变量 , 大于等于不等式减去剩余变量 ;决策变量 ≥0\geq 0≥0 , 没有约束的变量 xj=xj′−xj′′x_j = x_j' - x_j''xj=xj′−xj′′ , 使用两个变量代替 111 个变量 ;目标函数求最大值 , 如果是求最小值 , 目标函数 ×−1\times -1×−1 ;

线性规划标准形式 :

maxZ=∑j=1ncjxjs.t{∑j=1naijxj≤(=⋅≥)bii=1,2,⋯,mxj≥0j=1,2,⋯,n\begin{array}{lcl}max Z = \sum_{j = 1}^{n} c_j x_j\\\\ s.t \begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j \leq ( = \cdot \geq) b_i & i = 1,2,\cdots,m \\ \\ x_j \geq 0 & j= 1, 2,\cdots,n \end{cases}\end{array}maxZ=∑j=1ncjxjs.t⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1naijxj≤(=⋅≥)bixj≥0i=1,2,⋯,mj=1,2,⋯,n

二、线性规划解、可行解、最优解

线性规划标准形式如下 :

maxZ=∑j=1ncjxjs.t{∑j=1naijxj=bii=1,2,⋯,mxj≥0j=1,2,⋯,n\begin{array}{lcl}max Z = \sum_{j = 1}^{n} c_j x_j\\\\ s.t \begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i & i = 1,2,\cdots,m \\ \\ x_j \geq 0 & j= 1, 2,\cdots,n \end{cases}\end{array}maxZ=∑j=1ncjxjs.t⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1naijxj=bixj≥0i=1,2,⋯,mj=1,2,⋯,n

可行解 :满足约束条件的解 , 称为可行解 ;

可行域 :所有的可行解组成的集合 , 称为可行域 ;

最优解 :使目标函数达到最大值的可行解 , 称为最优解 ;

线性规划求解就是在可行解中找出一个最优解 ;

将线性规划转化为标准形式 , 就可以使用求解方程组的方法 , 求解线性规划的可行解 ;

三、阶梯型矩阵

拿到一个方程组 AX=BAX = BAX=B , 其中

AAA 是 m×nm \times nm×n 的矩阵XXX 是 n×1n \times 1n×1 维向量BBB 是 m×1m \times 1m×1 维向量

这是线性规划的矩阵形式 , 参考【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 ) VI 线性规划数学模型矩阵形式

解上述方程组 , 使用高斯方程 , 高斯消元法 ;

将系数矩阵 AAA 和 BBB 做成一个矩阵 (AB)\bigl( A B \bigr)(AB) , 进行行变换 , 消元成阶梯形式 , 此时可以判断该方程组是否有解 , 如果有 , 可以将所有的解解出来 , 求解时 , 阶梯元素很关键 ,

阶梯型矩阵参考 : 矩阵中每行的第一个不为零的元素 , 其左侧和下方全是 0 ;

高斯消元法示例 :求解下面的方程组 ;

{x1+x2+x3=8x2−x3=2\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 8 \\ \\ x_2 - x_3 = 2 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+x3=8x2−x3=2

(AB)\bigl( A B \bigr)(AB) 矩阵为 [111801−12]\begin{bmatrix} &1 & 1 & 1 & 8 & \\\\ &0 & 1 & -1 & 2 & \end{bmatrix}⎣⎡10111−182⎦⎤

找到阶梯型矩阵 :前两列就是阶梯型矩阵 ;

前两列的矩阵 [1101]\begin{bmatrix} &1 & 1 & \\\\ &0 & 1 & \end{bmatrix}⎣⎡1011⎦⎤ 就是特殊矩阵 , 分别是 x1x_1x1 和 x2x_2x2 对应的矩阵 ;

x3x_3x3 是特殊的变量 , 其可以任意取值的 , 当 x3x_3x3 取任意值时 , 通过阶梯型矩阵 , 可以计算出 x1x_1x1 和 x2x_2x2 的值 ;

假设 x3x_3x3 取值为 kkk , 那么 :

x2=k+2x_2 = k + 2x2=k+2x1=6−2kx_1 = 6 - 2kx1=6−2k

四、阶梯型矩阵向量

{x1+x2+x3=8x2−x3=2\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 8 \\ \\ x_2 - x_3 = 2 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+x3=8x2−x3=2

方程组中有如下向量 :

x1x_1x1 对应的矩阵列向量 [10]\begin{bmatrix} &1 & \\\\ &0 & \end{bmatrix}⎣⎡10⎦⎤ 称为 P1P_1P1 ,

x2x_2x2 对应的矩阵列向量 [11]\begin{bmatrix} &1 & \\\\ &1 & \end{bmatrix}⎣⎡11⎦⎤ 称为 P2P_2P2 ,

x3x_3x3 对应的矩阵列向量 [1−1]\begin{bmatrix} &1 & \\\\ &-1 & \end{bmatrix}⎣⎡1−1⎦⎤ 称为 P3P_3P3 ,

写成向量形式 (P1P2P3b)\bigl( \ P_1 \ P_2 \ P_3 \ b \ \bigr)(P1P2P3b) , 在上方程组的矩阵中 , 找到阶梯型矩阵后 , 阶梯型矩阵对应的向量 P1P_1P1 和 P2P_2P2 是特殊的 ;

(P1P2)\bigl( \ P_1 \ P_2 \ \bigr)(P1P2) 两个列向量构成了 2×22 \times 22×2 二阶方阵 , 该方阵是阶梯型矩阵 , 是可逆的 ;

可逆矩阵参考

上述方程组可以写成 P1x1+P2x2+P3x3=bP_1x_1 + P_2 x_2 + P_3x_3 = bP1x1+P2x2+P3x3=b 形式 ;

有如下计算推导过程 :

AX=BAX = BAX=B

P1x1+P2x2+P3x3=bP_1x_1 + P_2 x_2 + P_3x_3 = bP1x1+P2x2+P3x3=b

(P1P2)(x1x2)+P3x3=b\bigl( \ P_1 \ P_2 \ \bigr) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + P_3x_3 = b(P1P2)(x1x2)+P3x3=b

将 (P1P2)\bigl( \ P_1 \ P_2 \ \bigr)(P1P2) 当做一个矩阵 BBB , 将 (x1x2)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}(x1x2) 当做一个矩阵 XBX_BXB ;

将整个系数矩阵除了 BBB 之外剩下的矩阵称为 NNN , 对应的变量矩阵称为 XNX_NXN ;

BXB+NXN=bBX_B + NX_N = bBXB+NXN=b

在上述矩阵的表达式中 , 方程组 {x1+x2+x3=8x2−x3=2\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 8 \\ \\ x_2 - x_3 = 2 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+x3=8x2−x3=2 中一定有一个系数矩阵的子矩阵 BBB 是特殊的矩阵 ;

BBB 矩阵与 AAA 矩阵的关系 :

AAA 矩阵是 m×nm \times nm×n 维的矩阵 , mmm 行 , nnn 列 , 有 nnn 个变量 , mmm 个等式 ;

AAA 的秩为 mmm , 且 n≥mn \geq mn≥m ;

矩阵 BBB 就是 m×mm \times mm×m 的方阵 ;

线性规划前提 :

这里说明一下 , 如果 n≤mn \leq mn≤m , 那么该方程组有唯一解 , 或无解 ;

整个运筹学讨论的就是等式个数 mmm 少于变量个数 nnn , 有多个解的情况下 , 如何找出最优解 , 因此其矩阵的秩就是等式个数 mmm ;