作者 | Peter
编辑 |AI有道
系列文章：
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 1：监督学习与非监督学习
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 2：梯度下降与正规方程
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 3：回归问题和正则化
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 4：神经网络基础
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 5：神经网络
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 6：关于机器学习的建议
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 7：支持向量机 SVM
吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 8：聚类 KMeans 及其 Python实现
在本文中主要介绍的是数据降维相关的内容，重点讲解了PCA算法
为什么要实施降维
数据压缩
数据可视化
PCA算法
PCA和线性回归算法的区别
PCA算法特点
Python实现PCA
sklearn中实现PCA
为何降维
在现实高维数据情况下，会有数据样本稀疏、距离计算困难等问题，被称为维数灾难。
解决的方法就是降维，也称之为“维数约简”，即通过某种数据方法将原始高维属性空间转成一个低维“子空间”。在这个子空间中，样本密度大大提高，将高维空间中的一个低维“嵌入”。
降维Dimensionality Reduction
数据降维主要是有两个动机：
数据压缩Data Compression
数据可视化Data Visualization
数据压缩Data Compression
上图解释：
在一个三维空间中的特征向量降至二维的特征向量。
将三维投影到一个二维的平面上，迫使所有的数据都在同一个平面上。
这样的处理过程可以被用于把任何维度的数据降到任何想要的维度，例如将1000维的特征降至100维。
数据可视化Data Visualization
降维能够帮助我们进行数据的可视化工作。
上面图的解释：
假设给定数据，具有多个不同的属性
某些属性表示的含义可能相同，在图形中可以放到同一个轴上，进行数据的降维
PCA- Principal Component Analysis
在PCA中，要做的是找到一个方向向量（Vector direction），当把所有的数据都投射到该向量上时，PCA的关键点就是找到一个投影平面使得投影误差最小化。
方向向量是一个经过原点的向量，而投射误差是从特征向量向该方向向量作垂线的长度。
PCA与线性回归的区别
线性回归中的纵轴是预测值，PCA中是特征属性
误差不同：PCA是投射误差，线性回归是尝试最小化预测误差。
线性回归的目的是预测结果，`PCA·是不做任何分析。
PCA算法
主成分分析中，首先对给定数据进行规范化，使得数据每一变量的平均值为0，方差为1。
之后对数据进行正交变换，用来由线性相关表示的数据，通过正交变换变成若干个线性无关的新变量表示的数据。
新变量是可能的正交变换中变量的方差和(信息保存)最大的，方差表示在新变量上信息的大小。将新变量一次成为第一主成分，第二主成分等。通过主成分分析，可以利用主成分近似地表示原始数据，便是对数据降维。
PCA算法中从n维到k维的过程是
均值归一化。计算所有特征的均值，令xj=xj−μj，如果特征不在一个数量级上，需要除以标准差
计算协方差矩阵 covariance matrix
计算协方差矩阵∑的特征向量 eigenvectors
在西瓜书中的描述为
主成分个数确定
关于PCA算法中主成分个数k的确定，一般是根据公式：
不等式右边的0.01可以是0.05，或者0.1等，都是比较常见的。当为0.01的时候，表示保留了99%的方差数据，即大部分的数据特征被保留了。
当给定了个数k，协方差矩阵S中求解出来的各个特征值满足公式：
也就是满足：
这个和上面的公式是等价的。
重建的压缩表示
重建的压缩表示Reconstruction from Compressed Representation指的是将数据从低维还原到高维的过程。
将指定的点位置映射到一个三维曲面，反解前面的方程：
PCA特点
PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，让这些特征在不同正交方向上没有相关性。
PCA是一种无参数技术，不需要进行任何参数的调节
Python实现PCA
利用numpy、pandas、matplotlib库实现PCA算法
sklearn中实现PCA
Linear dimensionality reduction using Singular Value Decomposition of the data to project it to a lower dimensional space. The input data is centered but not scaled for each feature before applying the SVD.
用sklearn学习PCA：
/pinard/p/6243025.html
实现模块
在scikit-learn中，与PCA相关的类都在sklearn.decomposition包中。最常用的PCA类就是sklearn.decomposition.PCA。
白化：对降维后的数据的每个特征进行归一化，让方差都为1
class sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, # 降维后的特征数目，直接指定一个整数copy=True,whiten=False, # 判断是否进行白化，默认是不白化svd_solver='auto', # 指定奇异值分解SVD的方法tol=0.0,iterated_power='auto',random_state=None)
demo
在这里讲解一个例子，利用PCA算法来进行IRIS数据的分类
推荐阅读
（点击标题可跳转阅读）
干货 | 公众号历史文章精选
我的深度学习入门路线
我的机器学习入门路线图
重磅！
AI有道年度技术文章电子版PDF来啦！
扫描下方二维码，添加AI有道小助手微信，可申请入群，并获得完整技术文章合集PDF（一定要备注：入群+ 地点 + 学校/公司。例如：入群+上海+复旦。
长按扫码，申请入群
（添加人数较多，请耐心等待）
感谢你的分享，点赞，在看三连
