单源最短路径–dijkstra算法
前面已经多次介绍过dijkstra算法是贪心算法，是动态规划，实际上可以从分支限界的角度来理解；
分支限界法
分支限界法，实际上就是回溯法，一般意义的回溯法是基于深度优先搜索，也可以配合限界函数剪枝，通常分支限界法基于宽度优先搜索，通过队列或者优先级队列实现。
剪枝的策略：不相邻的边剪掉，二是结点控制关系的路径剪掉，两条路径到达同一个顶点，在解空间树上是属于两条不同的路径，把路径长的节点后面的分支剪掉
代码实现如下：
import numpy as npimport heapqclass dijkstra:def __init__(self,graph,start):# 邻接表self.graph = graph# 顶点个数self.num = len(graph)#源点self.start = start# 已知最短路径，又叫当前最优值,并初始化self.dist = {vertex:np.Inf for vertex in graph} self.dist[start] = 0.0# 初始化优先级队列self.queue = []heapq.heappush(self.queue,(0.0,start))#追踪解self.parent = {start:None}def shortest_Path(self):while self.queue:#取出根节点enode = heapq.heappop(self.queue)distance = enode[0]vertex = enode[1]# 取邻接的边，实际上过滤了不相邻的边# 这里可以写成 for j in range(self.num),# 看成完全n叉树，也可以看成随机叉树的处理for j in self.graph[vertex].keys():# 他们都叫这个为控制约束，两条到某同一点的路径，长的那一条后面就被剪掉了# 也就是贪心法里面的贪心策略if distance + self.graph[vertex][j] < self.dist[j] :self.dist[j] = distance + self.graph[vertex][j]self.parent[j] = vertexheapq.heappush(self.queue,(self.dist[j],j))def print_Result(self):print(self.parent)print(self.dist)
对比基于贪心策略优先级队列实现方式,就多了一步：if v not in visit，也就是标记那些点已经达到了最短距离，就没有必要再算了，做了进一步剪枝：
def dijkstra_test(graph,start):pqueue = []heapq.heappush(pqueue,(0.0,start))visit = set()parent = {start:None}distance = {vertex:np.Inf for vertex in graph}distance[start] = 0.0while pqueue:pair = heapq.heappop(pqueue) dist = pair[0]vertex = pair[1]visit.add(vertex)edges = graph[vertex]for v in edges:if v not in visit:if dist + graph[vertex][v] < distance[v]:heapq.heappush(pqueue,(dist + graph[vertex][v],v))distance[v] = dist + graph[vertex][v]parent[v] = vertex print(parent)print(distance)
对比测试结果：
#%%g = {'A':{'B':1,'C':2},'B':{'A':1,'C':3,'D':4},'C':{'A':2,'B':3,'D':5,'E':6},'D':{'B':4,'C':5,'E':7,'F':8},'E':{'C':6,'D':7,'F':9},'F':{'D':8,'E':9,'G':10},'G':{'F':10}}dij = dijkstra(g,'D')dij.shortest_Path()dij.print_Result()dijkstra_test(g,'D'){'D': None, 'B': 'D', 'C': 'D', 'E': 'D', 'F': 'D', 'A': 'B', 'G': 'F'}{'A': 5.0, 'B': 4.0, 'C': 5.0, 'D': 0.0, 'E': 7.0, 'F': 8.0, 'G': 18.0}{'D': None, 'B': 'D', 'C': 'D', 'E': 'D', 'F': 'D', 'A': 'B', 'G': 'F'}{'A': 5.0, 'B': 4.0, 'C': 5.0, 'D': 0.0, 'E': 7.0, 'F': 8.0, 'G': 18.0}
