Probabilistic interpretation
我们应该想这样一个问题:当我们讨论回归问题时,我们为什么要最小化平方损失函数?在CS229的课程中,吴恩达教授给我们做了详细的概率解释。现总结如下:
对单个样本来说:
其中 为预测误差,我们假定样本的误差属于独立同分布。
根据中心极限定理:多个随机变量的和符合正态分布;因为误差的随机性,符合均值为0,方差为 的正态分布,即假定,因此:
上述第2个等式表明,在给定, 的条件下,符合正态分布,且均值为,方差为,即
注意,这里不等同于,前者默认为是一个固定的值,一个本身就存在的最佳参数矩阵;而后者认为是一个变量(统计学中frequentist和Bayesian的差别)。
此时,我们已知了y的概率分布,因为 是独立同分布的,所以每个样本的输出y也是独立同分布的。那么就可以用极大似然估计(MLE)来估计。似然函数为
似然函数取对数可得
可以看出,MLE的最终结果就是要最小化
这恰好就是我们的cost function。
对对数似然函数求导可得:
易得:(具体的推导可参见Normal Equation)
这不就是我们用Normal Equation得出的结论吗!(Normal Equation)
得到的估计之后,我们再来估计一下,先暂记,则:
解得:
至此,我们已经估计得到了和,所以我们可以得到之前的概率分布模型的确切表达式。
有了这个模型,对于输入就可以很容易的得到对于的,及其概率,以及置信区间等。
关于概率解释还有几点可以写。
正则项的贝叶斯先验解释
下次有时间补上
局部加权线性回归(Locally Weighted Linear Regression,LWLR)
LWLR算法是一个non-parametric(非参数)学习算法,而线性回归则是一个parametric(参数)学习算法。
所谓参数学习算法它有固定的明确的参数,参数一旦确定,就不会改变了,我们不需要在保留训练集中的训练样本。
而非参数学习算法,每进行一次预测,就需要重新学习一组,是变化的,所以需要一直保留训练样本。也就是说,当训练集的容量较大时,非参数学习算法需要占用更多的存储空间,计算速度也较慢。
先介绍这个概念是因为LWLR由于是非参数的学习算法,所以训练的方式与传统的线性回归有点区别。LWLR并不进行预先训练,而是当每次需要预测新样本点的时候才开始训练整体样本。LWLR的核心思想就是,与新样本点相关度高的(距离近的)样本起到的权重大,相关度低的起到的作用很小。
首先我们来看一个线性回归的问题,在下面的例子中,我们选取不同维度的特征来对我们的数据进行拟合。
对于上面三个图像做如下解释:
选取一个特征,来拟合数据,可以看出来拟合情况并不是很好,有些数据误差还是比较大。
针对第一个,我们增加了额外的特征,,这时我们可以看出情况就好了很多。
这个时候可能有疑问,是不是特征选取的越多越好,维度越高越好呢?所以针对这个疑问,如最右边图,我们用五阶多项式使得数据点都在同一条曲线上,为。此时它对于训练集来说做到了很好的拟合效果,但是,我们不认为它是一个好的假设,因为它不能够做到更好的预测(过拟合)。
针对上面的分析,我们认为第二个是一个很好的假设,而第一个图我们称之为欠拟合(underfitting),而最右边的情况我们称之为过拟合(overfitting)
所以我们知道特征的选择对于学习算法的性能来说非常重要,所以现在我们要引入局部加权线性回归,它使得特征的选择对于算法来说没那么重要,也就是更随性了。
在我们原始的线性回归中,对于输入变量,我们要预测,通常要做:
而对于局部加权线性回归来说,我们要做:
为权值,从上面我们可以看出,如果很大,那么该样本点所产生的平方误差的影响就很大,所以如果很小,则它所产生的影响也就很小。
通常我们选择的形式如下所示:
上式中参数为新预测的样本特征数据,它是一个向量,参数控制了权值变化的速率,和的图像如下
可以看到(感觉这幅图并不太好,虽然大致的意思(分布上)表达出来了)
(1)如果,则。
(2)如果,则。
也即,离很近的样本,权值接近于1,而对于离很远的样本,此时权值接近于0,这样就是在局部构成线性回归,它依赖的也只是周边的点。
图中红色直线使用线性回归做的结果,黑色直线使用LWR做的结果,可以看到局部加权回归的效果较好。
参数τ控制权重函数的宽度,τ越大,权重函数越宽,也就是下降越慢,τ越小,则对于距离越敏感:
总结
这个模型相对比较简单,虽然可以在一定程度上解决欠拟合的问题,但有相当明显的缺陷。
当数据量比较大的时候,存储量比较大,计算量比较大,代价较大。每次进来新的x时,需要重新根据训练数据得到局部加权回归模型。不一定能够解决under-fitting的问题
参考文章:
线性回归及其概率解释
线性回归概率解释(Linear Regression)