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一、离散时间傅里叶变换（DTFT）二、离散傅里叶变换（DFT）三、DTFT和DFT区别的例子四、快速傅里叶变换（FFT）总结

一、离散时间傅里叶变换（DTFT）

在时间连续域中，信号一般用带有时间变量的函数表示，系统则用微分方程表示。在频域中，则使用傅里叶变换或拉普拉斯变换表示。

在时间离散域中，信号一般用序列表示，系统则用差分方程表示。在频域中，则使用序列的傅里叶变换或Z变换表示。

时间连续模拟信号的傅里叶变换会得到连续的频域信号。那么时间离散信号（序列）的傅里叶变换呢？

x ( n ) x(n) x(n)是一个长为M的序列，其离散时间傅里叶变换（DTFT）为：

公式(1)： X ( e j ω ) = D T F T [ x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega})=DTFT[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} X(ejω)=DTFT[x(n)]=∑n=−∞∞​x(n)e−jωn

离散时间傅里叶逆变换为：

公式(2)： x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω n d ω x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega x(n)=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωndω

从公式(1)可以看出时间离散信号的DTFT得到的是连续的频域信号！这也是DTFT最明显的特征。

二、离散傅里叶变换（DFT）

x ( n ) x(n) x(n)是一个长为M的序列，其离散傅里叶变换（DFT）为：

公式(3)： X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N k n , k = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j \frac{2\pi}{N}kn}, k=0,1,2, ..., N-1 X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1​x(n)e−jN2π​kn,k=0,1,2,...,N−1

离散傅里叶逆变换为：

公式(4)： x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X ( k ) e j 2 π N k n , n = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}X(k)e^{j \frac{2\pi}{N}kn}, n=0,1,2, ..., N-1 x(n)=IDFT[X(k)]=N1​∑n=0N−1​X(k)ejN2π​kn,n=0,1,2,...,N−1

从公式(3)可以看出时间离散信号的DFT得到的是离散的频域信号！

那么对 x ( n ) x(n) x(n)进行DFT得到的 X ( k ) X(k) X(k)和对 x ( n ) x(n) x(n)进行DTFT得到的 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)之间有什么实际物理关系呢？

公式(5)： X ( k ) = X ( e j ω ) ∣ ω = 2 π N k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 X(k)=X(e^{j\omega})|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k},k=0,1,2,...,N-1 X(k)=X(ejω)∣ω=N2π​k​,k=0,1,2,...,N−1

因此，从公式(5)可以看出对 x ( n ) x(n) x(n)进行DFT得到的X(k)是对 x ( n ) x(n) x(n)进行DTFT得到的 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)在区间 [ 0 ， 2 π ] [0，2\pi] [0，2π]上的N点等间隔采样。

由于时域非周期信号的转换到频域会得到周期的频域信号，因此区间 [ 0 ， 2 π ] [0，2\pi] [0，2π]是指频域信号一个周期内的所有频域分量。在实际的通信系统中，区间 [ 0 ， 2 π ] [0，2\pi] [0，2π]对应的是信号采样角频率 ω s = 2 π F s \omega s=2\pi Fs ωs=2πFs的范围。这也正是画频谱时，整个频谱宽度等于采样率 F s Fs Fs。

也就是说，对 x ( n ) x(n) x(n)进行DTFT得到的 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)是一个连续的频域信号，而对 x ( n ) x(n) x(n)进行DFT就相当于在频域，在采样频率范围内，对连续的 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)进行N点采样。

三、DTFT和DFT区别的例子

例如序列 x ( n ) = [ 0 , 1 , 2 , 3 ] x(n)=[0,1,2,3] x(n)=[0,1,2,3]，其DTFT为：

X ( e j ω ) = ∑ n = 0 3 x ( n ) e − j ω n = 1 + e − j ω + e − j ω 2 + e − j ω 3 = 1 − e − j ω 3 1 − e − j ω = e − j ω 3 2 s i n ( ω 3 / 2 ) s i n ( ω / 2 ) X(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{3}x(n)e^{-j\omega n}\\ = 1+e^{-j\omega} +e^{-j\omega 2} +e^{-j\omega 3} \\ =\frac{1-e^{-j\omega 3}}{1-e^{-j\omega}}=e^{\frac{-j\omega 3}{2}}\frac{sin(\omega 3/2)}{sin(\omega/2)} X(ejω)=∑n=03​x(n)e−jωn=1+e−jω+e−jω2+e−jω3=1−e−jω1−e−jω3​=e2−jω3​sin(ω/2)sin(ω3/2)​

其8点DFT为：

X ( k ) = ∑ n = 0 7 x ( n ) e − j 2 π 8 k n = e − j 3 π 8 k s i n ( π 2 k ) s i n ( π 8 k ) , k = 0 , 1 , . . . , 7 X(k)=\sum_{n=0}^{7}x(n)e^{\frac{-j2\pi}{8}kn}=e^{\frac{-j3\pi}{8}k}\frac{sin(\frac{\pi}{2}k)}{sin(\frac{\pi}{8}k)},k=0,1,...,7 X(k)=∑n=07​x(n)e8−j2π​kn=e8−j3π​ksin(8π​k)sin(2π​k)​,k=0,1,...,7

它们对应的时域和频域幅度曲线如下所示：

原时间离散序列

DTFT后的频域连续信号DFT后的频域离散信号

四、快速傅里叶变换（FFT）

直接计算DFT的计算复杂度和点数N的平方成正比，当N较大时，计算量太大。因此，FFT仅仅是降低DFT计算复杂度的各种快速DFT算法的总称。

总结

本博文介绍了离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）的原理。其中，DTFT最明显的特征是将时域离散信号变换为频域连续信号，DFT是在一个采样角频率范围内对DTFT得到的频域连续信号的等间隔N点采样，而FFT仅仅是在DFT基础上简化复杂度后的各种算法总称。

离散时间傅里叶变换（DTFT） 离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）之间的联系和区别