这个项目包含了吴恩达机器学习ex1的python实现,主要知识点为线性回归,题目内容可以查看数据集中的ex1.pdf
代码来自网络(原作者黄广海的github),添加了部分对于题意的中文翻译,以及修改成与习题一致的结构,方便大家理解
其余练习的传送门
项目 fork 地址: /fengdu78/Coursera-ML-AndrewNg-Notes/blob/master/code/ex1-linear%20regression/ML-Exercise1.ipynb
ex1:线性回归ex2:逻辑回归、正则化In[1]:
import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as plt
/opt/conda/lib/python3.6/importlib/_bootstrap.py:219: RuntimeWarning: numpy.dtype size changed, may indicate binary incompatibility. Expected 96, got 88return f(*args, **kwds)/opt/conda/lib/python3.6/importlib/_bootstrap.py:219: RuntimeWarning: numpy.dtype size changed, may indicate binary incompatibility. Expected 96, got 88return f(*args, **kwds)
1 简单练习¶
输出一个5*5的单位矩阵
In[2]:
A = np.eye(5)A
Out[2]:
array([[1., 0., 0., 0., 0.],[0., 1., 0., 0., 0.],[0., 0., 1., 0., 0.],[0., 0., 0., 1., 0.],[0., 0., 0., 0., 1.]])
2 单变量的线性回归¶
整个2的部分需要根据城市人口数量,预测开小吃店的利润
数据在ex1data1.txt里,第一列是城市人口数量,第二列是该城市小吃店利润。
2.1 Plotting the Data¶
读入数据,然后展示数据
In[3]:
path = '/home/kesci/input/andrew_ml_ex14179/ex1data1.txt'data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])data.head()
Out[3]:In[4]:
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))plt.show()
2.2 梯度下降¶
这个部分你需要在现有数据集上,训练线性回归的参数θ
2.2.1 公式¶
In[5]:def computeCost(X, y, theta):inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)return np.sum(inner) / (2 * len(X))#这个部分计算J(Ѳ),X是矩阵
In[]:
def computeCost2(X, y, theta):###不看上面cell,尝试自己实现一下
In[]:
computeCost(X, y, theta)
Out[]:
32.072733877455676
In[]:
computeCost2(X, y, theta)#实现好之后,用相同的方法调用一遍看答案是否一致
2.2.2实现¶
数据前面已经读取完毕,我们要为加入一列x,用于更新θ0,然后我们将θ初始化为0,学习率初始化为0.01,迭代次数为1500次
In[6]:
data.insert(0, 'Ones', 1)
现在我们来做一些变量初始化。
In[7]:
# 初始化X和ycols = data.shape[1]X = data.iloc[:,:-1]#X是data里的除最后列y = data.iloc[:,cols-1:cols]#y是data最后一列
观察下 X (训练集) and y (目标变量)是否正确.
In[8]:
X.head()#head()是观察前5行
Out[8]:In[9]:
y.head()
Out[9]:
代价函数是应该是numpy矩阵,所以我们需要转换X和Y,然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta。
In[10]:
X = np.matrix(X.values)y = np.matrix(y.values)theta = np.matrix(np.array([0,0]))
看下维度
In[11]:
X.shape, theta.shape, y.shape
Out[11]:
((97, 2), (1, 2), (97, 1))
2.2.3计算J(θ)¶
计算代价函数 (theta初始值为0),答案应该是32.07
2.2.4 梯度下降¶
记住J(θ)的变量是θ,而不是X和y,意思是说,我们变化θ的值来使J(θ)变化,而不是变化X和y的值。
一个检查梯度下降是不是在正常运作的方式,是打印出每一步J(θ)的值,看他是不是一直都在减小,并且最后收敛至一个稳定的值。θ最后的结果会用来预测小吃店在35000及70000人城市规模的利润。
In[13]:
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))parameters = int(theta.ravel().shape[1])cost = np.zeros(iters)for i in range(iters):error = (X * theta.T) - yfor j in range(parameters):term = np.multiply(error, X[:,j])temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))theta = tempcost[i] = computeCost(X, y, theta)return theta, cost#这个部分实现了Ѳ的更新
初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数,2.2.2中已经提到。
In[14]:
alpha = 0.01iters = 1500
现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。
In[15]:
g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)g
Out[15]:
matrix([[-3.63029144, 1.16636235]])
In[16]:
predict1 = [1,3.5]*g.Tprint("predict1:",predict1)predict2 = [1,7]*g.Tprint("predict2:",predict2)#预测35000和70000城市规模的小吃摊利润
predict1: [[0.45197679]]predict2: [[4.53424501]]
In[17]:
x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')ax.legend(loc=2)ax.set_xlabel('Population')ax.set_ylabel('Profit')ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')plt.show()#原始数据以及拟合的直线
2.4 可视化J(θ)¶
此步可以便于你理解J(θ)以及梯度下降。
三维图显示了θ0和θ1与J(θ)的对应关系,J(θ)是一个碗状的图形,并且有全局最小值。这个最小值就是θ0和θ1的最优解。梯度下降的每一步都会更接近这个最小值
并不会用python复现,截个图意思一下¶
3 多变量线性回归¶
ex1data2.txt里的数据,第一列是房屋大小,第二列是卧室数量,第三列是房屋售价
根据已有数据,建立模型,预测房屋的售价
In[18]:
path = '/home/kesci/input/andrew_ml_ex14179/ex1data2.txt'data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])data2.head()
Out[18]:
3.1 特征归一化¶
观察数据发现,size变量是bedrooms变量的1000倍大小,统一量级会让梯度下降收敛的更快。做法就是,将每类特征减去他的平均值后除以标准差
In[19]:
data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()data2.head()
Out[19]:SizeBedroomsPrice00.130010-0.2236750.4757471-0.504190-0.223675-0.08407420.502476-0.2236750.2286263-0.735723-1.537767-0.86702541.2574761.0904171.595389
3.2 梯度下降¶
In[20]:# 加一列常数项data2.insert(0, 'Ones', 1)# 初始化X和ycols = data2.shape[1]X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]# 转换成matrix格式,初始化thetaX2 = np.matrix(X2.values)y2 = np.matrix(y2.values)theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))# 运行梯度下降算法g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)g2
Out[20]:
matrix([[-1.10856950e-16, 8.84042349e-01, -5.24551809e-02]])
3.3 正规方程¶
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的:∂∂θjJ(θj)=0 。
假设我们的训练集特征矩阵为 X(包含了x0=1)并且我们的训练集结果为向量 y,则利用正规方程解出向量 θ=(XTX)−1XTy 。
上标T代表矩阵转置,上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵A=XTX,则:(XTX)−1=A−1
梯度下降与正规方程的比较:
梯度下降:需要选择学习率α,需要多次迭代,当特征数量n大时也能较好适用,适用于各种类型的模型
正规方程:不需要选择学习率α,一次计算得出,需要计算(XTX)−1,如果特征数量n较大则运算代价大,因为矩阵逆的计算时间复杂度为O(n3),通常来说当n小于10000 时还是可以接受的,只适用于线性模型,不适合逻辑回归模型等其他模型
In[21]:
# 正规方程def normalEqn(X, y):theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)return theta
In[22]:
final_theta2=normalEqn(X, y)#这里用的是data1的数据final_theta2
Out[22]:
matrix([[-3.89578088],[ 1.19303364]])
In[23]:
#梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214, 1.1272942 ]])