改进欧拉法
与上一篇中实例相比，改进欧拉法多了一步修正过程，正是应为有了该一步修正过程使得数值解法具有更高一级精度。
先看下面两幅图，第一幅是没有改进的欧拉法，第二幅是改进的欧拉法
两者相比误差有很大的提高。
下式即为改进欧拉法的修正公式，即梯形公式，
其中右边项中的i+1使用的时传统欧拉法的预估值。对当前值进行进一步修正。
代码如下：
%微分方程数值解法----欧拉法测试%-------------------------------------clc;clear all;close all;%-------------------------------------%du/dt + u^2 = 0%u(0)=1%-------------------------------------N = 100;t_s = 0;t_e = 1;dt = (t_e-t_s)/N;t = t_s:dt:t_e-dt;M=2;%-------------------------------------%解析解u_j=1./(1+t);u_s(1) = 1;for i=2:Nif M==1u_s(i)=-u_s(i-1)^2*dt+u_s(i-1);elseif M==2u_s(i)=-u_s(i-1)^2*dt+u_s(i-1);%预测u_s(i)=u_s(i-1)+(-u_s(i)^2-u_s(i-1)^2)*dt/2;endendsubplot(2,1,1);plot(t,u_j,'-o',t,u_s,'-*');xlabel('t');ylabel('y');legend('解析解','数值解');subplot(2,1,2);plot(t,u_j-u_s,'-r');xlabel('t');ylabel('err');legend('误差');
运行结果如下：
