基础知识
FFT即快速傅里叶变换，利用周期性和可约性，减少了DFT的运算量。常见的有按时间抽取的基2算法（DIT-FFT）按频率抽取的基2算法（DIF-FFT）。
1.利用自带函数fft进行快速傅里叶变换
若已知序列x=[4,3,2,6,7,8,9,0]x=[4,3,2,6,7,8,9,0]x=[4,3,2,6,7,8,9,0]，求X(k)=DFT[x(n)]X(k)=DFT[x(n)]X(k)=DFT[x(n)]
代码非常简单，只有两行
x=[4,3,2,6,7,8,9,0];xk=fft(x)
一般，对MATLAB而言，要想让它显示出结果，计算的部分不要加分号。
2.绘制128点DFT的幅频图
已知信号由15Hz幅值0.5的正弦信号和40Hz幅值2的正弦信号组成，数据采样频率为100Hz,试绘制N=128点DFT的幅频图。
关于下列代码的解释
f=(0:N-1)'*fs/N;
其中(0:N-1)'是生成了一个长度为N，间隔为1的列向量转置所得到的行向量。fs/N是指频域上的频率间隔。
若N点序列x(n)(n=0,1,…,N-1)是在采样频率fs(Hz)下获得的。它的FFT也是N点序列，即X(k)（k=0,1,…,N-1），则第K点对应实际频率值为:
f=k*fs/N
clc;fs=100;Ts=1/fs;%采样时间间隔N=128;n=0:N-1;t=n*Ts; %x不是直接关于n的函数，因为是固定的采样时间点x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,N);f=(0:N-1)'*fs/N;stem(f,abs(y));
运行结果
同时也可以可看到这个幅度谱是关于fN对称的。
3.利用FFT进行功率谱的噪声分析
已知带有测量噪声信号x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+2w(t)x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+2w(t)x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+2w(t) 其中f1=50Hz，f2=120Hz， w(t)为均值为零、方差为1的随机信号，采样频率为1000Hz，数据点数N=512。试绘制信号的功率谱图。
下面先介绍几个基本的函数和知识：
conj(Y)
conj(Y) 是 MATLAB 中的一个函数，表示对 Y 中的每个元素取其共轭复数。如果 Y 是一个实数数组，则返回其本身。在信号处理中，常常使用共轭复数进行频域变换的处理。
求功率
P=Y.*conj(Y)/512;
注意这里是点乘啊。
在信号处理中，功率可以表示为信号的平均能量。对于一个离散时间信号，其能量可以表示为其幅度平方的总和，即：
E=∑n=0N−1∣x[n]∣2E = \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 E=n=0∑N−1∣x[n]∣2
其中，NNN 是信号的抽样点数，x[n]x[n]x[n] 是信号在时刻 nnn 的采样值。这里的 ∣x[n]∣2|x[n]|^2∣x[n]∣2 表示对 x[n]x[n]x[n] 取模长平方。
如果要计算信号的平均功率，可以将其总能量除以抽样点数，即：
P=EN=1N∑n=0N−1∣x[n]∣2P = \frac{E}{N} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 P=NE=N1n=0∑N−1∣x[n]∣2
这里的 PPP 表示信号的功率。
在代码中，YYY 表示信号的离散傅里叶变换，即频域表示，其幅度 ∣Y∣|Y|∣Y∣ 表示信号在每个频率分量上的贡献。为了计算信号的功率谱，需要将 YYY 变换为其幅度平方，即 ∣Y∣2|Y|^2∣Y∣2。由于 YYY 中包含了正频率和负频率的信息，因此需要对其进行共轭操作，即将负频率部分取共轭复数，然后再与正频率部分相乘，即 Y⋅conj(Y)Y \cdot \operatorname{conj}(Y)Y⋅conj(Y)。最后将结果除以抽样点数 NNN，即可得到功率谱 PPP：
P=Y⋅conj(Y)NP = \frac{Y \cdot \operatorname{conj}(Y)}{N} P=NY⋅conj(Y)
这里的 PPP 是一个长度为 NNN 的向量，表示信号在每个频率分量上的功率。
randn
andn是MATLAB中的一个函数，用于生成一个均值为0，方差为1的标准正态分布随机数。例如，可以使用以下代码生成一个大小为3x3的标准正态分布随机矩阵：
A = randn(3,3);
完整代码
clc;t=0:0.001:0.6;%设置步进与时间区间x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);%根据已知写出信号的表达式noise=randn(1,length(t));%生成均值为零、方差为1的随机信号，也就是噪声y=x+noise;%带有噪声的信号subplot(121);plot(t,y);fs=1000;Y=fft(y,512);%512点的FFTP=Y.*conj(Y)/512;%求功率f=(0:255)*fs/256%由上面的分析可知，频谱关于奈奎斯特频率对称，所以取其中一半subplot(122);plot(f,P(1:256))%功率随频率的变化，即功率谱图,绘制出一半
运行结果：
4.序列长度和FFT的长度对信号频谱的影响
已知信号 x(t)=0.5sin(2πf1t)+2sin(2πf2t)x(t)=0.5sin(2πf1t)+2sin(2πf2t)x(t)=0.5sin(2πf1t)+2sin(2πf2t)
其中f1=15Hz,f2=40Hz,采样频率为100Hz.
在下列情况下绘制其幅频谱。
有了前面的基础，这里就比较简单了
代码
nlength=32;nfft1=32;nfft2=128;fs=100;Ts=1/fs;n=0:nlength-1;t=n*Ts;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y1=fft(x,nfft1);f1=(0:31)*fs/32;subplot(211);Y1=abs(y1);plot(f1(1:16),Y1(1:16));y2=fft(x,nfft2);f2=(0:127)*fs/128;subplot(212);Y2=abs(y2);plot(f2(1:64),Y2(1:64));
运行结果
结果分析
采样点数越多，其频谱越光滑。
注意
绘制图形的时候，一定要分析清楚是频谱图，还是某一个变换，其目的在于分清谁是因变量，谁是自变量。
