M个球放入N个盒子的放法
1、N个盒子编号为1到N, 把M个相同的球放入这N个不相同的盒子,问共有多少种放法。
M个球分成了N组,即装入N个盒子。如果要求每个盒子至少有一个球,则要求M>=N.
M个球排成一排,中间有M-1个空隙, 任选N-1个空隙放挡板,即分成N组, 放法总数为:C(M-1,N-1) 。
2、N=3时,特例
1)将M个球放入3个不同的盒子共有X(M)=C(M-1,2)种方法;
2)其中有两个即以上盒子中的球数目相同的情况,共有Y(M)=[(M-1)/2]中,[*]表示取整。如果M是3的倍数,则包含1种三个盒子中球数目都相同,否则没有。令Z(M)=1,如果Mmod3=0,否则Z=0;下面考虑如下事实:
l两个盒子球数目相同,如果盒子不同,相同的一组数有3中组合,即任选一个盒子放入那个不同的数,另外两个盒子一样,C(3,1)=3;
l三个盒子球数目相同,不管盒子相同或不同都只有一种放法;
l三个盒子中球数目都不同,一组数由于盒子不同而带来的组合有P(3)=3*2*1=6种。
因此盒子不同时总的放法为X,其中有3(Y-Z)中是两个及以上盒子球相同的放法,Z种三个盒子球数目相同的放法,剩余的为三个盒子球数目都不相同的放法,即X-3*(Y-Z)-Z。
3)当盒子不做区分时,
l两个盒子球数目相同的情况有Y-Z种;
l三个盒子数目相同的情况有