测试函数shubert（十）
shubert函数属于周期性多峰函数，如图1所示拥有多个全局最优值，如图二所示在一个周期内只有一个全局最优值，局部最优解较多，适合测试算法的收敛性能，粒子群算法是一种收敛速度较快的算法，运算速度快，但是粒子群算法容易陷入局部最优，有些时候会导致收敛慢，或者不收敛，本文用标准粒子群算法进行改进，利于遗传算法的变异算子，交叉算子，对标准粒子群进行改进，，用基于遗传算法改进的粒子群GA-PSO求解，如有疑问，欢迎大家留言交流！
函数图像如下
MATLAB编程shubert代码如下：
clcclearclose allx = -2:0.1:2;y = -2:0.1:2;x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[x,y] = meshgrid(x,y);[m,n] = size(x);z = zeros(m,n);for ii = 1:mfor jj = 1:nxx = [x(ii,jj) y(ii,jj)];z(ii,jj) = shubertfun(xx);endendfiguresurf(x,y,z)xlabel('x1')ylabel('x2')zlabel('z')axis([-2 2 -2 2 -200 200])% axis([-10 10 -10 10 -200 200])% shading interptitle('Shubert Function')set(gca,'fontsize',12)colormap jetfunction [ out] = shubertfun( x )x1 = x(1);x2 = x(2);sum1 = 0;sum2 = 0;for ii = 1:5new1 = ii * cos((ii+1)*x1+ii);new2 = ii * cos((ii+1)*x2+ii);sum1 = sum1 + new1;sum2 = sum2 + new2;endout = sum1 * sum2;end
遗传算法改进粒子群GA-PSO算法的原理
粒子群优化算法（PSO）又翻译为粒子群算法、微粒群算法、或微粒群优化算法，PSO是由Kennedy和Eberhart共同提出，最初用于模拟社会行为，作为鸟群中有机体运动的形式化表示。自然界中各种生物体均具有一定的群体行为，Kennedy和Eberhart的主要研究方向之一是探索自然界生物的群体行为，从而在计算机上构建其群体模型。PSO是一种启发式算法，因为它很少或没有对被优化的问题作出假设，并且能够对非常大候选解决方案空间进行搜索。PSO算法初始化为一群随机的粒子，然后通过多次迭代找到最优解。每一次的迭代过程中，粒子通过本身所找到的最优解（被成为个体极值）和整个种群目前找到的最优解（被称为全局极值）来更新自己。也可以使用粒子本身的邻居（被称为局部极值）的极值来更新自己，粒子群算法收敛快，但是容易陷入局部最优，针对次问题，本文通过判断每个粒子群的适应度，对适应度低的粒子，利用遗传算法的交叉算子，变异算子进行交叉运算和变异运算，增强了算法的全局收敛能力，能防止种群陷入局部最优。
GA-PSO粒子群算法的主要参数
一、种群个数popsize，既算法中粒子的个数；
二、最大迭代次数gen，既算法迭代gen次后停止迭代；
三、种群维度dim，既需要优化的自变量个数；
四、种群位置pop，既每个粒子群的对应的自变量的值，一个粒子对应一组自变量，相当于一个解；
五、种群速度v，既粒子群每次迭代更新的飞行速度，粒子群位置更新的步长；
六、种群全局最优值gbest，既迭代过程中曾经出现的最优解，包括最优位置和对应的目标函数值；
七、个体最优，既每个粒子迭代过程中单个体曾经出现的个体最优解，，包括个体最优位置和对应的目标函数值；
八、个体学习因子c1，既个体最优解对粒子群飞行的影响能力；
九、全局学习因子c2，既全局最优值对粒子群飞行的影响能力；
十、惯性权重w，既个体位置所占的权重，权重越大，粒子群收敛越慢，全局搜索能力越强；
十一、变异概率pm，既遗传算子的变异算子的概率。
十二、交叉概率pc，既遗传算法的交叉算子的概率
遗传算法改进粒子群GA-PSO算法流程图
遗传算法优化粒子群GA-PSO算法，MATLAB编程代码如下：
clcclearclose allwarning offset(0,'defaultfigurecolor','w') %x yxmax = [5.12 5.12];xmin = [-5.12 -5.12];vmax = 0.2*xmax;vmin = -vmax;fun = @shubert;m=2;%程序初始化% global popsize;%种群规模gen=20;%设置进化代数popsize=300;%设置种群规模大小best_in_history(gen)=inf; %初始化全局历史最优解best_in_history(:)=inf; %初始化全局历史最优解best_fitness=inf;fz = zeros(gen,5);%设置种群数量pc=0.5; %交叉概率选择，0和1之间pm=0.1;%变异概率选择，0和1之间pop1 = zeros(popsize,m);pop2 = zeros(popsize,m);pop3 = zeros(popsize,m);pop6 = zeros(gen,m);%存储解码后的每代最优粒子pop7 = zeros(popsize,m);%存储更新解码后的粒子的位置for ii1=1:popsizepop1(ii1,:)=funx(xmin,xmax,m); %初始化种群中的粒子位置，pop3(ii1,:)=pop1(ii1,:); %初始状态下个体最优值等于初始位置pop2(ii1,:)=funv(vmax,m); %初始化种群微粒速度，pop4(ii1,1)=inf;pop5(ii1,1)=inf;endpop0=pop1;xmax = [5.12 5.12];xmin = [-5.12 -5.12];c1=2;c2=2;gbest_x=pop1(end,:);% pop1(1:size(num,1),:) = num; %全局最优初始值为种群第一个粒子的位置for exetime=1:genww = 0.7*(gen-exetime)/gen+0.2;for ii4=1:popsizepop2(ii4,:)=(ww*pop2(ii4,:)+c1*rand(1,m).*(pop3(ii4,:)-pop1(ii4,:))+c2*rand(1,m).*(gbest_x-pop1(ii4,:))); %更新速度for jj = 1:mif pop2(ii4,jj)<vmin(jj)pop2(ii4,jj)=vmin(jj);elseif pop2(ii4,jj)>vmax(jj)pop2(ii4,jj)=vmax(jj);endendend%更新粒子位置for ii5=1:popsizepop1(ii5,:)=pop1(ii5,:)+pop2(ii5,:);for jj2 = 1:mif pop1(ii5,jj2)>xmax(jj2)pop1(ii5,jj2) = xmax(jj2);elseif pop1(ii5,jj2)<xmin(jj2)pop1(ii5,jj2)=xmin(jj2);endend% if rand>0.85% k=ceil(m*rand);% pop1(ii5,k) = (xmax( k)-xmin(k)).*rand(1,1)+xmin(k);% end% if pop5(ii5)>sum(pop5)/popsize% pop1(ii5,:) = (xmax(1,m)-xmin(1,m)).*rand(1,m)+xmin(1,m);% endendfor jj2 = 1:mif pop1(ii5,jj2)>xmax(jj2)pop1(ii5,jj2) = xmax(jj2);elseif pop1(ii5,jj2)<xmin(jj2)pop1(ii5,jj2)=xmin(jj2);endendif exetime-1>0plot(1:length(best_in_history(1:exetime-1)),best_in_history(1:exetime-1));xlabel('迭代次数')ylabel('适应度')title('遗传算法粒子群GA-PSO算法')hold on;pause(0.1)endpop1(end,:) = gbest_x;%计算适应值并赋值for ii3=1:popsize[my,mx] = fun2(pop1(ii3,:));%[my,mx] = fun2(gbest_x,num,xmax,xmin);pop5(ii3,1)=my;pop7(ii3,:) = mx;if pop4(ii3,1)>pop5(ii3,1) %若当前适应值优于个体最优值，则进行个体最优信息的更新pop4(ii3,1)=pop5(ii3,1);%适值更新pop3(ii3,:)=pop1(ii3,:);%位置坐标更新endend%计算完适应值后寻找当前全局最优位置并记录其坐标if best_fitness>min(pop4(:,1))best_fitness=min(pop4(:,1)) ; %全局最优值ag = [];ag =find(pop4(:,1)==min(pop4(:,1)));gbest_x(1,:)=(pop1(ag(1),:)); %全局最优粒子的位置pop6(exetime,:) = pop7(ag(1),:);elsefz(exetime,:) = fz(exetime-1,:);if exetime>1pop6(exetime,:) = pop6(exetime-1,:);endendbest_in_history(exetime)=best_fitness; %记录当前全局最优meany = mean(pop5);%变异for hh = 1:popsizeif pop5(hh)>meanyif rand()>pmk=ceil(rand());pop1(hh,k) = (xmax( k)-xmin(k)).*rand(1,1)+xmin(k);endendend%交叉pany = [];for hh = 1:popsizeif pop5(hh)>meanyif isempty(pany)pany =[pop1(hh,:) hh];elsepanx = [pop1(hh,:) hh];if rand()>pck=ceil(m*rand());pop1(pany(end),k) = panx(k);pop1(panx(end),k) =pany(k);pany = [];endendendendendx = -2:0.1:2;y = -2:0.1:2;x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[x,y] = meshgrid(x,y);[m,n] = size(x);z = zeros(m,n);for ii = 1:mfor jj = 1:nxx = [x(ii,jj) y(ii,jj)];z(ii,jj) = shubertfun(xx);endendfiguresurf(x,y,z)hold onxlabel('x1')ylabel('x2')zlabel('z')axis([-2 2 -2 2 -200 200])% axis([-10 10 -10 10 -200 200])% shading interptitle('Shubert Function')set(gca,'fontsize',12)colormap jetplot(pop0(:,1),pop0(:,2),'ro','MarkerFaceColor','r')xlabel('X')ylabel('Y')title('初始种群')set(gca,'fontsize',12)view([-130 40])figuresurf(x,y,z)hold onxlabel('x1')ylabel('x2')zlabel('z')axis([-2 2 -2 2 -200 200])% axis([-10 10 -10 10 -200 200])% shading interptitle('Shubert Function')set(gca,'fontsize',12)colormap jetplot(pop1(:,1),pop1(:,2),'ro','MarkerFaceColor','r')xlabel('X')ylabel('Y')title('收敛后的种群')set(gca,'fontsize',12)view([-130 40])function [out,xy]= fun2(xy) xmax = [5.12 5.12 ];xmin = [-5.12 -5.12 ];for ii = 1:2if xy(ii)>xmax(ii)xy(ii)=xmax(ii);elseif xy(ii)<xmin(ii);xy(ii)=xmin(ii);endendx1 = xy(1);x2 = xy(2);sum1 = 0;sum2 = 0;for ii = 1:5new1 = ii * cos((ii+1)*x1+ii);new2 = ii * cos((ii+1)*x2+ii);sum1 = sum1 + new1;sum2 = sum2 + new2;endout = sum1 * sum2;endfunction x=funv(vmax,m)x = 2.*vmax(1:m).*rand(1,m)-vmax(1:m);endfunction x=funx(xmin,xmax,m)x = (xmax(1:m)-xmin(1:m)).*rand(1,m)+xmin(1:m);end
遗传算法改进粒子群GA-PSO算法优化shubert函数，效果图如下：
从效果图看，收敛图比较温和，收敛后种群没有完全聚集，有一部分粒子在全局寻优，大部分粒子在最优解附近寻优，既保证了对最优解的精益求精，又可以避免陷入局部最优，全局搜索能力不降低。
