问
题
提
出
著名的兔子繁殖问题
意大利著名数学家斐波那契曾经在他的《算盘全书》一书中提出了一个有趣的问题：如果有一对兔子，每一个月都生下一对小兔，而它们所生下的每一对小兔在出生后的第三个月也都生下一对小兔。那么，由最初的一对兔子开始，满一年时一共可以繁殖出多少对兔子呢？
这就是著名的“兔子繁殖”问题。
背
景
介
绍
数学名家斐波那契
斐波那契，即比萨的列昂纳多(Leonardo of Pisa)，他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，代表著作有《算经》、《几何实践》等。早年他随父在北非从师阿拉伯人学习算数，后又游历地中海沿岸诸国，回到意大利后，他写成了《算经》(Liber Abac·1202，亦译作《算盘全书》)。这本书通过在记账、重量计算、利息、汇率以及其他方面的应用，显示出新的数字系统的实用价值，《算经》最大的功绩是系统介绍印度计数法，这影响并改变了欧洲数学的面貌。现传《算经》是1228年的修订版，书中还引进了著名的“斐波那契数列”。《几何实践》(Practica Geometriae， 1220)则着重叙述希腊几何与三角术。斐波那契其他数学著作还有《平方数书》(VLiberQuadratorum，1225)、《花朵》(Flos，1225)等。
原
理
剖
析
斐波那契数列
1.分析、抓住本质
题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；刚刚新生的兔子还不能生殖，简称为小兔子；而小兔子一个月就长成了大兔子，这个问题，主要求的是大兔子与小兔子的总和。
2.深入观察规律
① 每月小兔对数=上月大兔对数。
② 每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之和。
综合①②两点，我们可以得出：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和。
这个结果可以以列表形式给出：
填写上表所缺数字。
因此，12 个月后会有对兔子。
试一试
1.由一对初生兔子开始，16个月后会有多少对兔子呢？
2. 如图1，起始正方形a的边长为1，在它下边是边长为1的正方形b，在这两个正方形的右侧再放一个正方形c，并以此类推，再顺次加上相应边长的正方形d,e,f,g,h，形成图1所示的图形，下面，请在表1中，分别填写图1中的各正方形的边长。
图1
表1
延
伸
探
究
上述问题形成一串特殊的数，后人为了纪念解决兔子繁殖问题的斐波那契，将这个特殊的数列称为斐波那契数列，即把形如1，1，2，3，5，8，13，21，34…的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列。通过递归的方法，斐波那契数列可以定义为：
用Fn表示第n个月大兔子的对数，则有二阶递推公式
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。
思 考
1.有一段楼梯有10级台阶，规定每走一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？
2.杨辉三角中是否存在斐波那契数列？你还发现哪些事物中蕴含斐波那契数列？
拓
展
阅
读
斐波那契数列规律
如图1，将斐波那契数为边的正方形拼成长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。
生存亿万年的鹦鹉螺
松果的秘密
松果是按斐波那契螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组螺线，并且彼此相嵌，两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数。
试一试
如图，松果分别有几条顺时针生长线和逆时针生长线？它们的比值是多少？
对于菠萝，菠萝表皮六角形鳞片形成两组旋向相反的螺线，通过数其表面所形成的螺旋线数可以发现菠萝是一种可以检验斐波那契数的植物。几乎所有花朵的花瓣数都来自这个数列中的一项数字：它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字(如左旋8行，右旋13行)；还有向日葵花盘...
开动脑筋
请同学们自主探索斐波那契数列中美丽动人的规律。
1.斐波那契数列中哪些项是奇数，哪些项是偶数？
2.斐波那契数列中的第20个和第90个数字的最大公因数是多少？
3.斐波那契数列中前后两项的比值趋近于多少？
相关阅读书目推荐
[1]阿瑟.本杰明著；胡小锐译.《The Magic of Math》北京：中信出版社，6月.
[2]陈雪《科学悖论故事》江苏科技出版社，4月.
[3]善本出版有限公司.《和谐之美 探索设计中的黄金比例》人民邮电出版社，1月。
(文中图片、视频均来自网络)
本期作者单位：莘松中学王倩
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