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最小生成树普利姆算法算法介绍代码 克鲁斯卡尔算法算法介绍步骤解析回路代码实现

最小生成树主要是用于解决修路问题等类似问题，要将所有顶点连通，并且权值之和最小。

最小生成树

给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树N个顶点，一定有N-1条边

包含全部顶点N-1条边都在图中求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普利姆算法

算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

普利姆的算法如下:

设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

其实，按照我个人的理解，可以简单概括为：对所有已经加入（已经访问过）的顶点，在它们的所有未访问过的边中找到权值weight最小的边，加入结果集，并标记边的另一个顶点为已访问过，一直循环这歌过程，直到加入了n-1条边。

代码

首先要有一个创建和存储图信息的类

class Graph:"""图的构造类"""def __init__(self, vertex_num):""":param vertex_num: 顶点的数量"""self.vertex_num = vertex_numself.vertexs = Noneself.weights = Nonedef create(self, vertexs, weights):""":param vertexs: 所有顶点集合:param weights: 边的邻接矩阵，二维数组:return:"""self.vertexs = vertexsself.weights = weights

然后，开始我们的普利姆算法

class MinimumSpanningTree:"""通过构建最小生成树，解决修路：要将所有顶点连通，并且使用的费用最低即权值之和最小"""def import_graph(self, graph: Graph):self.graph = graphdef prim(self, start):"""利用普利姆算法构建最小生成树:param start::return:"""# 用于判断每个顶点是否已经访问的listvisited = [False] * self.graph.vertex_numvisited[start] = Truefor k in range(1, self.graph.vertex_num):min_weight = 10000i1 = -1i2 = -1# 对所有已经加入（已经访问过）的顶点，在它们的所有未访问过的边中找到权值weight最小的边，加入结果集，并标记为已访问过for i in range(self.graph.vertex_num):if not visited[i]:continuefor j in range(self.graph.vertex_num):if (self.graph.weights[i][j] < min_weight) & (not visited[j]):min_weight = self.graph.weights[i][j]i1 = ii2 = jvisited[i2] = Trueprint('%s -> %s : %d' % (self.graph.vertexs[i1], self.graph.vertexs[i2], min_weight))

测试图例

if __name__ == '__main__':# 普利姆算法测试graph = Graph(7)vertexts = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G']weights = [[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2],[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3],[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000],[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000],[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4],[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6],[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]]graph.create(vertexts, weights)tree = MinimumSpanningTree()tree.import_graph(graph)tree.prim(0)

克鲁斯卡尔算法

算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路

具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

这里其实最关键的就是两点：

按照权值从小到大的顺序选择n-1条边选择的边不构成回路

步骤解析

第1步：将边<E,F>加入R中。

边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步：将边<C,D>加入R中。

上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步：将边<D,E>加入R中。

上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步：将边<B,F>加入R中。

上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步：将边<E,G>加入R中。

上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步：将边<A,B>加入R中。

上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：

回路

我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01)C的终点是F。

(02)D的终点是F。

(03)E的终点是F。

(04)F的终点是F。

这里需要注意的是，只有当边加入连通了了之后，才能有所谓的终点

例如仅仅只有<E,F> <C,D> <D,E>加入后，像A、B这样的顶点是还没有终点，也可以认为终点是它们自己。

代码实现

def kruskal(self):"""利用克鲁斯卡尔算法构建最小生成树:return:"""ends = [0] * self.graph.vertex_num # 用于存储每个顶点的终点edges = [] # 用于存储排序后的边# 开始进行排序# 遍历邻接矩阵，将边提取出来的同时插入edges，并保证有序visited = [False] * self.graph.vertex_numfor i in range(self.graph.vertex_num):for j in range(self.graph.vertex_num):if visited[j]:continueif self.graph.weights[i][j] != 10000:index = len(edges)for n in range(len(edges)):if self.graph.weights[i][j] < weights[edges[n][0]][edges[n][1]]:index = nbreakedges.insert(index, (i, j))visited[i] = True# 开始克鲁斯卡尔算法# 选取权值最小的n-1条不构成回路的边，即为最小生成树selects = []for edge in edges:if len(selects) > self.graph.vertex_num - 1:break# 首先判断是否构成回路end1 = self.get_end(edge[0], ends)end2 = self.get_end(edge[1], ends)if end1 == end2:continueelif end1 > end2:ends[end2] = end1 # 更新终点数组selects.append((self.graph.vertexs[edge[0]], self.graph.vertexs[edge[1]]))else:ends[end1] = end2selects.append((self.graph.vertexs[edge[0]], self.graph.vertexs[edge[1]]))print(selects)def get_end(self, v, ends):"""计算输入顶点的终点:param v::param ends: 存储每个顶点的终点:return:"""while ends[v] != 0:v = ends[v]return v

测试代码

graph = Graph(7)vertexts = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G']weights = [[10000, 12, 10000, 10000, 10000, 16, 14],[12, 10000, 110000, 10000, 10000, 7, 10000],[10000, 110000, 10000, 3, 5, 6, 10000],[10000, 10000, 3, 10000, 4, 10000, 10000],[10000, 10000, 5, 4, 10000, 2, 8],[16, 7, 6, 10000, 2, 10000, 9],[14, 10000, 10000, 10000, 8, 9, 10000]]graph.create(vertexts, weights)tree = MinimumSpanningTree()tree.import_graph(graph)tree.kruskal()

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