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基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合论文阅读笔记

时间：2024-04-09 07:37:40

论文地址:/Article/CJFDTotal-GCTX01016.htm

一、Problem Statement

传统的曲线(曲面)拟合方法一般使用最小二乘法，通过使误差的平方和最小，得到一个线性方程组，求解线性方程组就可以得到拟合曲线(曲面)。如果离散数据量比较大、形状复杂，还需要进行分段(分块)拟合和平滑化，这在实际中往往带来一定的困难。

二、Direction

建立了了一种基于移动最小二乘(Moving Least-Squares, MLS)法的曲线曲面拟合方法。

拟合函数的建立不同。这种方法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其他函数，而是由一个系数向量 α ( x ) \alpha(x) α(x)和基函数 p ( x ) p(x) p(x)构成，这里 α ( x ) \alpha(x) α(x)不是常数，而是坐标 x x x的函数。引入紧支（Compact Support）概念，认为点 x x x处的值 y y y只受 x x x附近子域内节点影响，这个子域称作点 x x x的影响区域。影响区域上定义一个权函数 w ( x ) w(x) w(x)，如果权函数在这个区域内取为常数，就得到传统的最小二乘法。

三、Method

使用移动最小二乘法进行曲线曲面拟合的基本思想是先将拟合区域网格化，然后求出网格点上节点值，最后连接网格节点形成拟合曲线(曲面)。

1. 拟合函数的建立

在拟合区域的一个局部子域上，拟合函数 f ( x ) f(x) f(x)表示为：

f ( x ) = ∑ i = 1 m α i ( x ) p i ( x ) = p T ( x ) α ( x ) \begin{equation}f(x) = \sum_{i=1}^m \alpha_i(x)p_i(x)= p^T(x)\alpha(x) \end{equation} f(x)=i=1∑mαi(x)pi(x)=pT(x)α(x)

式中， α ( x ) = [ α 1 ( x ) , α 2 ( x ) , Λ , a m ( x ) ] T \alpha(x)=[\alpha_1(x), \alpha_2(x), \Lambda, a_m(x)]^T α(x)=[α1(x),α2(x),Λ,am(x)]T为待求系数，它是坐标 x x x的函数。 p ( x ) = [ p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , Λ , p m ( x ) ] T p(x)=[p_1(x), p_2(x), \Lambda, p_m(x)]^T p(x)=[p1(x),p2(x),Λ,pm(x)]T称为基函数，它是一个 k k k阶完备的多项式， m m m是基函数的项数。例如:

不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权函数以改变拟合曲线（曲面）的光滑度。

MLS中，需要通过调整系数 α ( x ) \alpha(x) α(x)，使得节点附近采样点取值与拟合函数在采样点取值之间的差的加权平方和最小。由此建立最优化模型，对向量 α ( x ) = [ α 1 ( x ) , α 2 ( x ) , Λ , a m ( x ) ] T \alpha(x)=[\alpha_1(x), \alpha_2(x), \Lambda, a_m(x)]^T α(x)=[α1(x),α2(x),Λ,am(x)]T计算加权L2范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ( ∑ i = 1 n x i 2 ) 1 2 ||x||_2 = (\sum_{i=1}^nx_i^2)^{\frac{1}{2}} ∣∣x∣∣2=(∑i=1nxi2)21，如下所示：

J = ∑ I = 1 n w ( x − x I ) [ f ( x ) − y I ] 2 = ∑ I = 1 n w ( x − x I ) [ p T ( x ) α ( x ) − y I ] 2 \begin{equation}J = \sum_{I=1}^nw(x-x_I)[f(x)-y_I]^2=\sum_{I=1}^nw(x-x_I)[p^T(x)\alpha(x) -y_I]^2\end{equation} J=I=1∑nw(x−xI)[f(x)−yI]2=I=1∑nw(x−xI)[pT(x)α(x)−yI]2

其中， n n n是影响区域内节点的数目，如下图所示。

f ( x ) f(x) f(x)是拟合函数， y I y_I yI是 x = x I x=x_I x=xI处的节点值， y I = y ( x I ) y_I=y(x_I) yI=y(xI)。 w ( x − x I ) w(x-x_I) w(x−xI)是节点 x I x_I xI的权函数(后续讲解)。

为了确定系数 α ( x ) \alpha(x) α(x)，式子 ( 2 ) (2) (2)应该取最小值，因此对 α ( x ) \alpha(x) α(x)求导可得，

∂ J ∂ α = A ( x ) α ( x ) − B ( x ) y = 0 \begin{equation} \frac{\partial J}{\partial \alpha} = A(x)\alpha(x)-B(x)y = 0 \end{equation} ∂α∂J=A(x)α(x)−B(x)y=0

α ( x ) = A − 1 ( x ) B ( x ) y \begin{equation} \alpha(x) = A^{-1}(x) B(x) y \end{equation} α(x)=A−1(x)B(x)y

其中

A ( x ) = ∑ i = 1 n w ( x − x I ) p ( x I ) p T ( x I ) A(x) = \sum_{i=1}^n w(x-x_I)p(x_I)p^T(x_I) A(x)=i=1∑nw(x−xI)p(xI)pT(xI)

B ( x ) = [ w ( x − x I ) p ( x I ) , w ( x − x 2 ) p ( x 2 ) , Λ , w ( x − x n ) p ( x n ) ] B(x)=[w(x-x_I)p(x_I),w(x-x_2)p(x_2),\Lambda,w(x-x_n)p(x_n)] B(x)=[w(x−xI)p(xI),w(x−x2)p(x2),Λ,w(x−xn)p(xn)]

y T = [ y 1 , y 2 , Λ , y n ] y^T=[y_1, y_2, \Lambda, y_n] yT=[y1,y2,Λ,yn]

最后，将式子 ( 4 ) (4) (4)带入式子 ( 1 ) (1) (1)中，可以得到MSL拟合函数：

f ( x ) = ∑ i = 1 m α i ( x ) p i ( x ) = p T ( x ) α ( x ) = ∑ i = 1 m p T ( x ) A − 1 ( x ) B ( x ) y = ∑ I = 1 n ϕ I k ( x ) y I = O ¨ k ( x ) y f(x) = \sum_{i=1}^m \alpha_i(x)p_i(x)= p^T(x)\alpha(x) \\= \sum_{i=1}^m p^T(x) A^{-1}(x) B(x) y \\=\sum_{I=1}^n \phi_I^k(x)y_I=\ddot{O}^k(x)y f(x)=i=1∑mαi(x)pi(x)=pT(x)α(x)=i=1∑mpT(x)A−1(x)B(x)y=I=1∑nϕIk(x)yI=O¨k(x)y

其中 = O ¨ k ( x ) =\ddot{O}^k(x) =O¨k(x)称为形函数， k k k表示基函数的阶数。

O ¨ k ( x ) = [ ϕ 1 k , ϕ 2 k , Λ , ϕ n k ] = p T ( x ) A − 1 ( x ) B ( x ) \ddot{O}^k(x) = [\phi_1^k, \phi_2^k, \Lambda, \phi_n^k] = p^T(x) A^{-1}(x) B(x) O¨k(x)=[ϕ1k,ϕ2k,Λ,ϕnk]=pT(x)A−1(x)B(x)

需要注意的是，即使基函数 p ( x ) p(x) p(x)为多项式，MLS拟合函数的 f ( x ) f(x) f(x)也不再是多项式。

2. 权函数

上面公式 ( 2 ) (2) (2)中，有一个权函数 w ( x − x I ) w(x-x_I) w(x−xI)。MLS认为点 x x x处的值 y y y只受 x x x附近子域内节点影响，这个子域称作点 x x x的影响区域。影响区域上定义一个权函数 w ( x ) w(x) w(x)，如果权函数在这个区域内取为常数，就得到传统的最小二乘法。权函数在 x x x的一个子域内不等于零，在这个子域之外全为零，这个子域称为权函数的支持域（即 x x x的影响区域）。一般选择圆形作为权函数的支持域，其半径记为 S m a x S_{max} Smax，如上图1所示。由于权函数的紧支性，只有这些包含在影响区域内的数据点对点 x x x 的取值有影响。

权函数 w ( x − x I ) w(x-x_I) w(x−xI)应该是非负的，并且随着 ∣ ∣ x − x I ∣ ∣ 2 ||x-x_I||_2 ∣∣x−xI∣∣2的增加单调递减。权函数具有一定的光滑性，因为拟合函数会继承权函数的连续性。如果权函数 w ( x − x I ) w(x-x_I) w(x−xI)是 C 1 C^1 C1阶连续的，则拟合函数也是 C 1 C^1 C1阶连续的。影响区域应该包含足够多的节点，以使得 A ( x ) A(x) A(x)可逆。