机器学习与深度学习——利用随机梯度下降算法SGD对波士顿房价数据进行线性回归
我们这次使用随机梯度下降（SGD）算法对波士顿房价数据进行线性回归的训练，给出每次迭代的权重、损失和梯度，并且绘制损失loss随着epoch变化的曲线图。
步骤
1、导入必要的库和模块：numpy，pandas，matplotlib，load_boston和StandardScaler。其中，load_boston用于加载波士顿房价数据集，StandardScaler用于对数据进行标准化处理。
2、加载数据集并对数据进行标准化处理。同时，为数据添加一列1作为截距项，并将y转换为列向量。
3、定义SGD函数来进行训练。在每个epoch中，我们会随机地从样本中抽取一个batch的数据来计算梯度和损失，并更新权重。
4、使用SGD训练模型，并输出每次迭代的结果：权重w，损失loss和梯度grad。同时，将每个epoch的平均损失存储到列表losses中，并返回最终的权重和损失。
5、绘制随机梯度下降训练过程中，损失函数值随着epoch变化的曲线图
程序代码
1.使用随机梯度下降（SGD）算法对波士顿房价数据进行线性回归的训练，给出每次迭代的权重、损失和梯度，并且绘制了损失loss随着epoch变化的曲线图。
import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.preprocessing import StandardScaler#加载数据集并对数据进行标准化处理。同时，为数据添加一列1作为截距项，并将y转换为列向量。# 加载数据boston = load_boston()X, y = boston.data, boston.target# 标准化数据scaler = StandardScaler()X = scaler.fit_transform(X)# 在数据中添加一列1X = np.hstack((np.ones((X.shape[0], 1)), X))# 将y转换为列向量y = y.reshape(-1, 1)# 3、定义SGD函数来进行训练。在每个epoch中，我们会随机地从样本中抽取一个batch的数据来计算梯度和损失，并更新权重。def sgd(X, y, lr=0.01, epochs=100, batch_size=32):n_samples, n_features = X.shapew = np.zeros((n_features, 1))losses = []for epoch in range(epochs):epoch_loss = 0# 随机排列样本permutation = np.random.permutation(n_samples)for i in range(0, n_samples, batch_size):# 获取一个batch的样本indices = permutation[i:i+batch_size]X_batch = X[indices]y_batch = y[indices]# 计算梯度和损失grad = X_batch.T.dot(X_batch.dot(w) - y_batch) / batch_sizeloss = np.mean((X_batch.dot(w) - y_batch) ** 2)epoch_loss += loss# 更新权重w -= lr * gradlosses.append(epoch_loss / (n_samples // batch_size))return w, losses# 使用SGD训练模型，并输出每次迭代的结果：权重w，损失loss和梯度grad。同时，将每个epoch的平均损失存储到列表losses中，并返回最终的权重和损失。w, losses = sgd(X, y, lr=0.01, epochs=100, batch_size=32)def sgd(X, y, lr=0.01, epochs=100, batch_size=32):n_samples, n_features = X.shapew = np.zeros((n_features, 1))losses = []for epoch in range(epochs):epoch_loss = 0# 随机排列样本permutation = np.random.permutation(n_samples)for i in range(0, n_samples, batch_size):# 获取一个batch的样本indices = permutation[i:i+batch_size]X_batch = X[indices]y_batch = y[indices]# 计算梯度和损失grad = X_batch.T.dot(X_batch.dot(w) - y_batch) / batch_sizeloss = np.mean((X_batch.dot(w) - y_batch) ** 2)epoch_loss += loss# 更新权重w -= lr * grad# 输出w值和grad值和loss值print('w:', w.flatten())print('grad:', grad.flatten())print('loss:', loss)losses.append(epoch_loss / (n_samples // batch_size))return w, lossesw, losses = sgd(X, y, lr=0.01, epochs=100, batch_size=32)#绘制随机梯度下降训练过程中，损失函数值随着epoch变化的曲线图plt.plot(losses)plt.xlabel('Epoch')plt.ylabel('Cost')plt.show()
效果图
随机梯度下降（SGD）是一种简单但非常有效的方法，多用用于支持向量机、逻辑回归（LR）等凸损失函数下的线性分类器的学习。并且SGD已成功应用于文本分类和自然语言处理中经常遇到的大规模和稀疏机器学习问题。SGD既可以用于分类计算，也可以用于回归计算。
