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逻辑代数的基本公式基本公式常用公式示例 逻辑代数的基本规则代入规则反演规则对偶规则逻辑代数的基本公式
基本公式
逻辑代数的基本公式
0、1律: A + 0 = A A + 1 = 1 A ⋅ 1 = A A ⋅ 0 = 0 A+0=A \quad A+1=1 \quad A \cdot 1=A \quad A \cdot 0=0 A+0=AA+1=1A⋅1=AA⋅0=0
互补律: A + A ˉ = 1 A ⋅ A ˉ = 0 A+\bar{A}=1 \quad A \cdot \bar{A}=0 A+Aˉ=1A⋅Aˉ=0
交换律: A + B = B + A A ⋅ B = B ⋅ A A+B=B+A \quad A \cdot B=B \cdot A A+B=B+AA⋅B=B⋅A
结合律: A + B + C = ( A + B ) + C A ⋅ B ⋅ C = ( A ⋅ B ) ⋅ C A+B+C=(A+B)+C \quad A \cdot B \cdot C=(A \cdot B) \cdot C A+B+C=(A+B)+CA⋅B⋅C=(A⋅B)⋅C
分配律: A ( B + C ) = A B + A C A + B C = ( A + B ) ( A + C ) A(B+C)=A B+A C \quad A+B C=(A+B)(A+C) A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)
重叠律: A + A = A A ⋅ A = A A+A=A \quad A \cdot A=A A+A=AA⋅A=A
反演律: A + B ‾ = A ˉ ⋅ B ˉ A B ‾ = A ˉ + B ˉ \quad \overline{A+B}=\bar{A} \cdot \bar{B} \quad \overline{A B}=\bar{A}+\bar{B} A+B=Aˉ⋅BˉAB=Aˉ+Bˉ
吸收律:
A + A ⋅ B = A A ⋅ ( A + B ) = A A + A ˉ ⋅ B = A + B ( A + B ) ⋅ ( A + C ) = A + B C \begin{array}{ll} A+A \cdot B=A & A \cdot(A+B)=A \\ A+\bar{A} \cdot B=A+B & (A+B) \cdot(A+C)=A+B C \end{array} A+A⋅B=AA+Aˉ⋅B=A+BA⋅(A+B)=A(A+B)⋅(A+C)=A+BC
其他常用恒等式:
A B + A ˉ C + B C = A B + A ˉ C A B + A ˉ C + B C D = A B + A ˉ C \begin{array}{l} A B+\bar{A} C+B C=A B+\bar{A} C \\ A B+\bar{A} C+B C D=A B+\bar{A} C \end{array} AB+AˉC+BC=AB+AˉCAB+AˉC+BCD=AB+AˉC
常用公式
A + B ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ A B ‾ = A ‾ + B ‾ A + A ⋅ B = A A + A ˉ ⋅ B = A + B A ⋅ ( A + B ) = A A B + A B ‾ = A A ⊕ 0 = A A ⊙ 0 = A ‾ A ⊕ 1 = A ‾ A ⊙ 1 = A \begin{array}{ll} \overline{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}=\overline{\boldsymbol{A}} \cdot \overline{\boldsymbol{B}} & \overline{\boldsymbol{A B}}=\overline{\boldsymbol{A}}+\overline{\boldsymbol{B}} \\ A+A \cdot B=A & A+\bar{A} \cdot B=A+B \\ A \cdot(A+B)=A & \boldsymbol{A B}+\mathbf{A} \overline{\boldsymbol{B}}=\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A} \oplus \mathbf{0}=\boldsymbol{A} & \boldsymbol{A} \odot \mathbf{0}=\overline{\boldsymbol{A}} \\ \boldsymbol{A} \oplus \mathbf{1}=\overline{\boldsymbol{A}} & \boldsymbol{A} \odot \mathbf{1}=\boldsymbol{A} \end{array} A+B=A⋅BA+A⋅B=AA⋅(A+B)=AA⊕0=AA⊕1=AAB=A+BA+Aˉ⋅B=A+BAB+AB=AA⊙0=AA⊙1=A
示例
1.证明 A + B ‾ = A ˉ ⋅ B ˉ \overline{A+B}=\bar{A} \cdot \bar{B} A+B=Aˉ⋅Bˉ,$ \quad \overline{A B}=\bar{A}+\bar{B}$
列出等式、右边的函数值的真值表
A B A ˉ B ˉ A + B ‾ A ˉ ⋅ B ˉ A B ‾ A ˉ + B ˉ 0 0 1 1 0 + 0 ‾ = 1 1 0 ⋅ 0 ‾ = 1 1 0 1 1 0 0 + 1 ‾ = 0 0 0 ⋅ 1 ‾ = 1 1 1 0 0 1 1 + 0 ‾ = 0 0 1 ⋅ 0 ‾ = 1 1 1 1 0 0 1 + 1 ‾ = 0 0 1 ⋅ 1 ‾ = 0 0 \begin{array}{|cc|cc|c|c|c|c|} \hline A & B & \bar{A} & \bar{B} & \overline{A+B} & \bar{A} \cdot \bar{B} & \overline{A B} & \bar{A}+\bar{B} \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & \overline{0+0}=1 & 1 & \overline{0 \cdot 0}=1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & \overline{0+1}=0 & 0 & \overline{0 \cdot 1}=1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & \overline{1+0}=0 & 0 & \overline{1 \cdot 0}=1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & \overline{1+1}=0 & 0 & \overline{1 \cdot 1}=0 & 0 \\ \hline \end{array} A0011B0101Aˉ1100Bˉ1010A+B0+0=10+1=01+0=01+1=0Aˉ⋅Bˉ1000AB0⋅0=10⋅1=11⋅0=11⋅1=0Aˉ+Bˉ1110
可见上面每个等式两边的真值表相同，故等式成立。
2.用基本公式证明下列等式成立。
A ˉ B + A B ˉ ‾ = A ˉ B ˉ + A B \overline{\bar{A} B+A \bar{B}}=\bar{A} \bar{B}+A B AˉB+ABˉ=AˉBˉ+AB
证明：
A ˉ B + A B ˉ ‾ = A ˉ ‾ B ⋅ A ˉ ‾ B ˉ ‾ = ( A + B ˉ ) ⋅ ( A ˉ + B ) = A A ˉ + A B + A ˉ B ˉ + B ˉ B = 0 + A B + A ˉ B ˉ + 0 = A ˉ B ˉ + A B \begin{aligned} \overline{\bar{A} B+A \bar{B}} & =\overline{\bar{A}} B \cdot \overline{\bar{A}} \overline{\bar{B}} \\ & =(A+\bar{B}) \cdot(\bar{A}+B) \\ & =A \bar{A}+A B+\bar{A} \bar{B}+\bar{B} B \\ & =0+A B+\bar{A} \bar{B}+0 \\ & =\bar{A} \bar{B}+A B \end{aligned} AˉB+ABˉ=AˉB⋅AˉBˉ=(A+Bˉ)⋅(Aˉ+B)=AAˉ+AB+AˉBˉ+BˉB=0+AB+AˉBˉ+0=AˉBˉ+AB
3.求证 A B + A ˉ C + B C = A B + A ˉ C A B+\bar{A} C+B C=A B+\bar{A} C AB+AˉC+BC=AB+AˉC
左式 = A B + A ˉ C + ( A + A ˉ ) B C = A B + A ˉ C + A B C + A ˉ B C = A B + A ˉ C \begin{aligned} \text { 左式 } & =A B+\bar{A} C+(A+\bar{A}) B C \\ & =A B+\bar{A} C+A B C+\bar{A} B C \\ & =A B+\bar{A} C \end{aligned} 左式=AB+AˉC+(A+Aˉ)BC=AB+AˉC+ABC+AˉBC=AB+AˉC
4.求证 A B + A ˉ C + B C D = A B + A ˉ C A B+\bar{A} C+B C D=A B+\bar{A} C AB+AˉC+BCD=AB+AˉC
左式 = A B + A ˉ C + B C + B C D = A B + A ˉ C + B C = A B + A ˉ C \begin{array}{l} \text { 左式 }=A B+\bar{A} C+B C+B C D \\ =A B+\bar{A} C+B C \\ =A B+\bar{A} C \end{array} 左式=AB+AˉC+BC+BCD=AB+AˉC+BC=AB+AˉC
逻辑代数的基本规则
代入规则
在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。
A ⋅ B ‾ = A ˉ + B ˉ \overline{A \cdot B}=\bar{A}+\bar{B} A⋅B=Aˉ+Bˉ
用B·C 代替B，得 A ( B C ) ‾ = A ˉ + B C ‾ = A ˉ + B ˉ + C ˉ \overline{A(B C)}=\bar{A}+\overline{B C}=\bar{A}+\bar{B}+\bar{C} A(BC)=Aˉ+BC=Aˉ+Bˉ+Cˉ
得代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围
反演规则
对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。
1.试求 L = A ˉ B ˉ + C D + 0 L=\bar{A} \bar{B}+C D+0 L=AˉBˉ+CD+0的非函数。
解：按照反演规则，得
L ˉ = ( A + B ) ⋅ ( C ˉ + D ˉ ) ⋅ 1 = ( A + B ) ( C ˉ + D ˉ ) \bar{L}=(A+B) \cdot(\bar{C}+\bar{D}) \cdot 1=(A+B)(\bar{C}+\bar{D}) Lˉ=(A+B)⋅(Cˉ+Dˉ)⋅1=(A+B)(Cˉ+Dˉ)
2.试求 L = A + B C ˉ + D + E ˉ ‾ ‾ L=A+\overline{B \bar{C}+\overline{D+\bar{E}}} L=A+BCˉ+D+Eˉ的非函数 L ‾ \overline{L} L
解：由反演规则，可得 L ˉ = A ˉ ⋅ ( B ˉ + C ) ⋅ D ˉ E ‾ ‾ \bar{L}=\bar{A} \cdot \overline{(\bar{B}+C) \cdot \overline{\bar{D} E}} Lˉ=Aˉ⋅(Bˉ+C)⋅DˉE，保留反变量以外的非号不变。
对偶规则
对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作 L ′ L^{\prime} L′。
3.逻辑函数 L = ( A + B ˉ ) ( A + C ) L=(A+\bar{B})(A+C) L=(A+Bˉ)(A+C)的对偶式为
L ′ = A B ˉ + A C L^{\prime}=A \bar{B}+A C L′=ABˉ+AC
当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。
参考文献：
Verilog HDL与FPGA数字系统设计，罗杰，机械工业出版社，04月Verilog HDL与CPLD/FPGA项目开发教程(第2版), 聂章龙, 机械工业出版社, 12月Verilog HDL数字设计与综合(第2版), Samir Palnitkar著，夏宇闻等译, 电子工业出版社, 08月Verilog HDL入门(第3版), J. BHASKER 著 夏宇闻甘伟 译, 北京航空航天大学出版社, 03月
