巴拿赫空间：完备赋范空间
连续映射
定义：设是两个度量空间，T是X到Y中的映射。x_0 \in X,如果使对X中一切满足d(x,x_0)<\delta 的x，有，则称T在x_0连续
度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广
定理1：T是度量空间(X,d)到度量空间(Y,\tilde{d})的映射
T在x_0 \in X 连续 \Leftrightarrow x_n \rightarrow x_0(n\rightarrow \infty)时，必有Tx_n \rightarrow Tx_0(n\rightarrow \infty)
定理2：映射连续 等价于 （像开原像开）或（像闭原像闭）
原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射,称集合为集合M在映射T下的原像，简记为T^{-1}M
Cauchy 点列与完备空间的几个例子
设X=（X，d）是度量空间，{x_n}是X中的点列，对 使当ｎ，ｍ>N时，必有d(x_n,x_m)<\epslion 则称 {x_n} 是X中的柯西（Cauchy）点列或基本点列。
举例
有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间是完备的度量空间
在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列
赋范空间的性质
巴拿赫空间的子空间：
巴拿赫空间X的赋范子空间Y是完备的，当且仅当Y在X中是闭的
有限赋范空间
完备性定理：每个有限维赋范空间都是完备的
封闭性定理：赋范空间X中的每一个有限维子空间Y在X中都是闭的
（1）闭性是子空间的性质，即子空间中的序列如果在全空间中收敛，一定也在子空间中收敛；
（2）完备性指的是空间中Cauchy序列一定是收敛序列。由于收敛序列一定是Cauchy序列，那么完备表明空间中的Cauchy序列等价于空间中的收敛序列。
有限维空间中的等价范数定理：在有限维向量空间X上，任意两种范数是等价的
等价范数：对于向量空间X上的范数 || * || 和 || * ||_0 ，若存在正数a b，使得对所有 x\in X都有：
a || x ||_0 <= || x || <= b || x ||_0
则称两范数等价
紧性和有维性
定义：如果度量空间的每一个序列X都有一个收敛的子序列，则X是紧的
紧性定理：有限维赋范空间中，任意子集 M \subset X 当且仅当是有界闭集时，才是紧集
有限维定理：若赋范空间X中的闭单位球是紧集，则X是有限维的
