整体思路

对群G作关于子群N的陪集分解:G=∪a∈RNaG=\mathop{\cup}\limits_{a\in R}NaG=a∈R∪​Na(这句话意味着左、右陪集分解的NaNaNa完全一样),其中每个NaNaNa都当作一个元素，那么要想让集合A={Na∣a∈R}A=\{Na|a\in R\}A={Na∣a∈R}成为群，NNN就得是正规子群。当AAA变成群后(AAA称为商群)，就可以继续研究这种特殊的群的性质了(同态基本定理及其应用)。

正规子群

定义：N≤G,∀g∈G,gN=Ng,那么N是G的N\le G,\forall g\in G,gN=Ng,那么N是G的N≤G,∀g∈G,gN=Ng,那么N是G的正规子群记为：N◃G.记为：N\triangleleft G.记为：N◃G.

引理1:N≤G，下列条件彼此等价：(1)N◃G;(2)∀g∈G,gN=Ng;(3)NG(N)=G;(4)G对于N的每个左陪集均是右陪集\begin{aligned}&N\le G，下列条件彼此等价：\\&(1)N\triangleleft G;\\&(2)\forall g\in G,gN=Ng;\\&(3)N_G(N)=G;\\&(4)G对于N的每个左陪集均是右陪集\\\end{aligned}​N≤G，下列条件彼此等价：(1)N◃G;(2)∀g∈G,gN=Ng;(3)NG​(N)=G;(4)G对于N的每个左陪集均是右陪集​

证：

(1)⇒(2)：根据定义可知。(2)⇒(3):gN=Ng⇒N=gNg−1⇒NG(N)=G(3)⇒(4):∀g∈G,N=gNg−1⇒∀g∈G,Ng=gN⇒(4)成立(4)⇒(1):由已知得:∀g∈G,∃g′∈G,gN=Ng′由于1∈N,所以g⋅1∈gN=Ng′即∀g∈G,∃n′∈N,g=n′g′⇒∀n∈N,ng=nn′g′由nn′∈N可知∀n∈N,ng∈Ng′根据消去律,∣Ng∣=∣N∣=∣Ng′∣,故Ng=Ng′=gN根据N◃G的定义,(1)成立。□\begin{aligned} &(1)\Rightarrow(2)：根据定义可知。\\ &(2)\Rightarrow(3):gN=Ng\Rightarrow N=gNg^{-1}\Rightarrow N_G(N)=G\\ &(3)\Rightarrow(4):\forall g\in G,N=gNg^{-1}\Rightarrow \forall g\in G,Ng=gN\Rightarrow (4)成立\\ &(4)\Rightarrow(1):由已知得:\forall g\in G,\exists g'\in G,gN=Ng'\\ &由于1\in N,所以g\cdot 1\in gN=Ng'\\ &即\forall g\in G,\exists n'\in N,g=n'g'\Rightarrow \forall n\in N,ng=nn'g'\\ &由nn'\in N可知\forall n\in N,ng\in Ng'\\ &根据消去律,|Ng|=|N|=|Ng'|,故Ng=Ng'=gN\\ &根据N\triangleleft G的定义,(1)成立。\;\;\;\Box \end{aligned} ​(1)⇒(2)：根据定义可知。(2)⇒(3):gN=Ng⇒N=gNg−1⇒NG​(N)=G(3)⇒(4):∀g∈G,N=gNg−1⇒∀g∈G,Ng=gN⇒(4)成立(4)⇒(1):由已知得:∀g∈G,∃g′∈G,gN=Ng′由于1∈N,所以g⋅1∈gN=Ng′即∀g∈G,∃n′∈N,g=n′g′⇒∀n∈N,ng=nn′g′由nn′∈N可知∀n∈N,ng∈Ng′根据消去律,∣Ng∣=∣N∣=∣Ng′∣,故Ng=Ng′=gN根据N◃G的定义,(1)成立。□​

商群

定义:设N◃G,那么∀a∈G,Na=aN,记a‾=Na,群G‾={a‾∣a∈G}叫做G对N的设N\triangleleft G,那么\forall a \in G,Na=aN,记\overline{a}=Na,群\overline{G}=\{\overline{a}|a\in G\}叫做G对N的设N◃G,那么∀a∈G,Na=aN,记a=Na,群G={a∣a∈G}叫做G对N的商群记为G‾=G/N记为\overline{G}=G/N记为G=G/N

根据拉格朗日定理，∣G‾∣=∣G∣∣N∣|\overline{G}|=\frac{|G|}{|N|}∣G∣=∣N∣∣G∣​

下面是商群概念的应用：

定理2: 设N◃G.令μ‾是商群G‾=G/N的全体子群组成的集合,μ={M∣N≤M≤G},即G和N的中间群全体.则f:μ→μ‾,M↦M‾=M/N是一一对应.并且对M∈μ,M◃G⇔M‾◃G‾\begin{aligned}&设N\triangleleft G.令\overline{\mu}是商群\overline{G}=G/N的全体子群组成的集合,\\&\mu=\{M|N\le M\le G\},即G和N的中间群全体.\\&则f:\mu\rightarrow \overline{\mu},M\mapsto\overline{M}=M/N是一一对应.\\&并且对M\in \mu,M\triangleleft G\Leftrightarrow \overline{M}\triangleleft \overline{G}\end{aligned}​设N◃G.令μ​是商群G=G/N的全体子群组成的集合,μ={M∣N≤M≤G},即G和N的中间群全体.则f:μ→μ​,M↦M=M/N是一一对应.并且对M∈μ,M◃G⇔M◃G​

证：μ和μ‾都是群的集合,即:这两个集合中的任意元素都是群μ中元素M可表示为:N∪{a1,a2,⋯∣ai∈G−N};μ‾中元素M‾可表示为:{N,g1N,g2N,⋯∣gi∈R}只需找到映射f的逆映射，即可证明f是一一对应。设映射h:μ‾→μ,M‾↦{g∈G∣gN∈M‾}由于N∈M‾恒成立，所以N⊆{g∈G∣gN∈M‾}由M‾={N,g1N,g2N,⋯∣gi∈R}是群可知{g∈G∣gN∈M‾}是G的子群当∣M‾∣=[G:N]时,{g∈G∣gN∈M‾}=G综上所述,{g∈G∣gN∈M‾}=M.故映射h:μ‾→μ,M‾↦Mhf(M)=h(M‾)=M;fh(M‾)=f(M)=M‾所以映射h是映射f的逆映射，故f是一一对应。∀g∈G,M◃G⇔gMg−1=M⇔f(gMg−1)=g{N,g1N,g2N,⋯∣gi∈R}g−1=gN{N,g1N,g2N,⋯∣gi∈R}Ng−1=gNM‾Ng−1由gN,Ng−1∈G‾和g的任意性知M‾◃G‾所以M◃G⇔M‾◃G‾□\begin{aligned} &\mu和\overline\mu都是群的集合,即:这两个集合中的任意元素都是群\\ &\mu中元素M可表示为:N\cup\{a_1,a_2,\cdots|a_i\in G-N\};\\ &\overline\mu中元素\overline{M}可表示为:\{N,g_1N,g_2N,\cdots|g_i\in R\}\\ &只需找到映射f的逆映射，即可证明f是一一对应。\\ &设映射h:\overline{\mu}\rightarrow \mu,\overline{M}\mapsto \{g\in G|gN\in \overline{M}\}\\ &由于N\in \overline M恒成立，所以N\subseteq\{g\in G|gN\in \overline{M}\}\\ &由\overline{M}=\{N,g_1N,g_2N,\cdots|g_i\in R\}是群可知\\ &\{g\in G|gN\in \overline{M}\}是G的子群\\ &当|\overline{M}|=[G:N]时,\{g\in G|gN\in \overline{M}\}=G\\ &综上所述,\{g\in G|gN\in \overline{M}\}=M.故映射h:\overline{\mu}\rightarrow \mu,\overline{M}\mapsto M\\ &hf(M)=h(\overline M)=M;fh(\overline M)=f(M)=\overline M\\ &所以映射h是映射f的逆映射，故f是一一对应。\\ &\forall g\in G,M\triangleleft G\Leftrightarrow gMg^{-1}=M\Leftrightarrow \\ &f(gMg^{-1})=g\{N,g_1N,g_2N,\cdots|g_i\in R\}g^{-1}\\&=gN\{N,g_1N,g_2N,\cdots|g_i\in R\}Ng^{-1}\\ &=gN\overline MNg^{-1}\\ &由gN,Ng^{-1}\in \overline G和g的任意性知\overline M\triangleleft \overline G\\ &所以M\triangleleft G\Leftrightarrow\overline M\triangleleft \overline G \;\;\;\Box \end{aligned} ​μ和μ​都是群的集合,即:这两个集合中的任意元素都是群μ中元素M可表示为:N∪{a1​,a2​,⋯∣ai​∈G−N};μ​中元素M可表示为:{N,g1​N,g2​N,⋯∣gi​∈R}只需找到映射f的逆映射，即可证明f是一一对应。设映射h:μ​→μ,M↦{g∈G∣gN∈M}由于N∈M恒成立，所以N⊆{g∈G∣gN∈M}由M={N,g1​N,g2​N,⋯∣gi​∈R}是群可知{g∈G∣gN∈M}是G的子群当∣M∣=[G:N]时,{g∈G∣gN∈M}=G综上所述,{g∈G∣gN∈M}=M.故映射h:μ​→μ,M↦Mhf(M)=h(M)=M;fh(M)=f(M)=M所以映射h是映射f的逆映射，故f是一一对应。∀g∈G,M◃G⇔gMg−1=M⇔f(gMg−1)=g{N,g1​N,g2​N,⋯∣gi​∈R}g−1=gN{N,g1​N,g2​N,⋯∣gi​∈R}Ng−1=gNMNg−1由gN,Ng−1∈G和g的任意性知M◃G所以M◃G⇔M◃G□​

Klein四元群

现已知四元群GGG中若有一元素的阶是4,则G=∼Z4G\mathop{=}\limits^\sim Z_4G=∼Z4​.现讨论g(≠1)∈Gg(\ne 1)\in Gg(​=1)∈G都是2阶元素的情况：

∀a,b∈G,(ab)2=abab=1⇒ab=a(abab)b=ba⇒G是阿贝尔群\forall a,b\in G,(ab)^2=abab=1\Rightarrow ab=a(abab)b=ba\Rightarrow G是阿贝尔群∀a,b∈G,(ab)2=abab=1⇒ab=a(abab)b=ba⇒G是阿贝尔群

a∈G⇒a2=1⇒a=a−1⇒<a>={1,a}a\in G\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=a^{-1}\Rightarrow <a>=\{1,a\}a∈G⇒a2=1⇒a=a−1⇒<a>={1,a}

则对于b∈G且b∉<a>有:G/<a>={<a>,b<a>}则对于b\in G且b\notin <a>有:G/<a>=\{<a>,b<a>\}则对于b∈G且b∈/​<a>有:G/<a>={<a>,b<a>}

此时G的四个互异元素都已经找到:{1,a,b,ab}它的每一个非幺元的阶都是2，这个群称为K4，与Z4不同构。此时G的四个互异元素都已经找到:\{1,a,b,ab\}它的每一个非幺元的阶都是2，这个群称为K_4，与Z_4不同构。此时G的四个互异元素都已经找到:{1,a,b,ab}它的每一个非幺元的阶都是2，这个群称为K4​，与Z4​不同构。

同态基本定理

定理1：设f:G→G′是群的同态.则Imf=f(G)是G′的子群,Kerf=f−1(1)={g∈G∣f(g)=1}是G的正规子群.并且有群同构f‾:G/Kerf→∼Imf,f‾(g‾)=f(g)\begin{aligned}&定理1：设f:G\rightarrow G'是群的同态.则Im f=f(G)是G'的子群,\\&Ker f=f^{-1}(1)=\{g\in G|f(g)=1\}是G的正规子群.\\&并且有群同构\overline{f}:G/Ker f\mathop{\rightarrow}\limits^{\sim} Im f,\overline{f}(\overline{g})=f(g)\end{aligned}​定理1：设f:G→G′是群的同态.则Imf=f(G)是G′的子群,Kerf=f−1(1)={g∈G∣f(g)=1}是G的正规子群.并且有群同构f​:G/Kerf→∼Imf,f​(g​)=f(g)​

证：

证Imf是G′的子群:因为f是同态映射，所以∀f(g1),f(g2)∈Imf,f(g1)f−1(g2)=f(g1)f(g2−1)=f(g1g2−1)由g1g2−1∈G可知f(g1)f−1(g2)=f(g1g2−1)∈Imf,故Imf是G′的子群证Kerf是G的正规子群：∀k∈Kerf,f(g−1kg)=f−1(g)f(k)f(g)=1⇒g−1kg∈Kerf⇒g−1Kerfg=Kerf故Kerf◃G证映射f‾存在：根据映射的定义，即证若g‾1=g‾2则f‾(g‾1)=f‾(g‾2)g‾1=g‾2⇒∃k1,k2∈Kerf,g1k1=g2k2⇒g1k1k2−1=g2所以f‾(g‾2)=f‾(g1k1k2−1‾)=f(g1)f(k1k2−1)=f(g1)=f‾(g‾1)证f‾是同态映射：f‾(g‾1⋅g‾2)=f‾(g1g2‾)=f(g1⋅g2)=f(g1)⋅f(g2)=f‾(g‾1)⋅f‾(g‾2)证f‾是满同态：∀a∈Imf,∃g∈G使得f(g)=a.因为gKerf∈G/Kerf所以∀f(g)∈Imf,∃g‾∈G/Kerf,f‾(g‾)=f(g)证f‾是单同态：f(g1)=f(g2)⇒f−1(g2)f(g1)=f(g2−1g1)=1⇒g2−1g1∈Kerf所以g2−1g1⋅Kerf=Kerf⇒g1⋅Kerf=g2⋅Kerf⇒g‾1=g‾2综上所述，f‾是群同构。□\begin{aligned} &证Im f是G'的子群:\\ &因为f是同态映射，所以\forall f(g_1),f(g_2)\in Imf,f(g_1)f^{-1}(g_2)=f(g_1)f(g^{-1}_2)=f(g_1g^{-1}_2)\\ &由g_1g^{-1}_2\in G可知f(g_1)f^{-1}(g_2)=f(g_1g^{-1}_2)\in Im f,故Imf是G'的子群\\ &证Kerf是G的正规子群：\\ &\forall k\in Ker f,f(g^{-1}kg)=f^{-1}(g)f(k)f(g)=1\Rightarrow g^{-1}kg\in Kerf\Rightarrow g^{-1}Ker f g=Kerf\\ &故Kerf\triangleleft G\\ &证映射\overline{f}存在：根据映射的定义，即证若\overline g_1=\overline g_2则\overline f(\overline g_1)=\overline f(\overline g_2)\\ &\overline g_1=\overline g_2\Rightarrow \exists k_1,k_2\in Ker f,g_1k_1=g_2k_2\Rightarrow g_1k_1k_2^{-1}=g_2\\ &所以\overline f(\overline g_2)=\overline f(\overline{g_1k_1k_2^{-1}})=f(g_1)f(k_1k_2^{-1})=f(g_1)=\overline f(\overline g_1)\\ &证\overline f是同态映射：\\ &\overline f(\overline g_1\cdot \overline g_2)=\overline f(\overline{g_1g_2})=f(g_1\cdot g_2)=f(g_1)\cdot f(g_2)=\overline f(\overline g_1)\cdot \overline f(\overline g_2)\\ &证\overline f是满同态：\\ &\forall a\in Imf,\exists g\in G使得f(g)=a.\\ &因为gKerf\in G/Ker f所以\forall f(g)\in Imf,\exists \overline g\in G/Ker f,\overline f(\overline g)=f(g)\\ &证\overline f是单同态：\\ &f(g_1)=f(g_2)\Rightarrow f^{-1}(g_2)f(g_1)=f(g_2^{-1}g_1)=1\Rightarrow g_2^{-1}g_1\in Ker f\\ &所以g_2^{-1}g_1\cdot Ker f=Ker f \Rightarrow g_1\cdot Ker f=g_2\cdot Ker f\Rightarrow \overline g_1=\overline g_2\\ &综上所述，\overline f 是群同构。\;\;\;\Box \end{aligned} ​证Imf是G′的子群:因为f是同态映射，所以∀f(g1​),f(g2​)∈Imf,f(g1​)f−1(g2​)=f(g1​)f(g2−1​)=f(g1​g2−1​)由g1​g2−1​∈G可知f(g1​)f−1(g2​)=f(g1​g2−1​)∈Imf,故Imf是G′的子群证Kerf是G的正规子群：∀k∈Kerf,f(g−1kg)=f−1(g)f(k)f(g)=1⇒g−1kg∈Kerf⇒g−1Kerfg=Kerf故Kerf◃G证映射f​存在：根据映射的定义，即证若g​1​=g​2​则f​(g​1​)=f​(g​2​)g​1​=g​2​⇒∃k1​,k2​∈Kerf,g1​k1​=g2​k2​⇒g1​k1​k2−1​=g2​所以f​(g​2​)=f​(g1​k1​k2−1​​)=f(g1​)f(k1​k2−1​)=f(g1​)=f​(g​1​)证f​是同态映射：f​(g​1​⋅g​2​)=f​(g1​g2​​)=f(g1​⋅g2​)=f(g1​)⋅f(g2​)=f​(g​1​)⋅f​(g​2​)证f​是满同态：∀a∈Imf,∃g∈G使得f(g)=a.因为gKerf∈G/Kerf所以∀f(g)∈Imf,∃g​∈G/Kerf,f​(g​)=f(g)证f​是单同态：f(g1​)=f(g2​)⇒f−1(g2​)f(g1​)=f(g2−1​g1​)=1⇒g2−1​g1​∈Kerf所以g2−1​g1​⋅Kerf=Kerf⇒g1​⋅Kerf=g2​⋅Kerf⇒g​1​=g​2​综上所述，f​是群同构。□​

推论 设f:G→G′是群的同态.则(1)f为单同态⇔Kerf={1};(2)若f为满同态，则有(正则)同构f‾:G/Kerf→∼G′.\begin{aligned}&设f:G\rightarrow G'是群的同态.则\\&(1)f为单同态\Leftrightarrow Ker f=\{1\};\\&(2)若f为满同态，则有(正则)同构\overline f:G/Ker f \mathop{\rightarrow}\limits^{\sim}G'.\end{aligned}​设f:G→G′是群的同态.则(1)f为单同态⇔Kerf={1};(2)若f为满同态，则有(正则)同构f​:G/Kerf→∼G′.​

证

(1)必要性：f是单同态⇒1G′∈G′的原像只有一个,即∣Kerf∣=1⇒f(g)=f(g)⋅f(Kerf)=f(g⋅Kerf)可知Kerf={1G}充分性：当Kerf={1G}时，f(g1)=f(g2)⇒f(g1g2−1)=1G′⇒g1g2−1∈Kerfg1g2−1=1G⇒g1=g2.由f(g1)=f(g2)⇒g1=g2可知f是单同态。(2)若f是满同态，则Imf=G′.根据同态基本定理,f‾是同构映射。□\begin{aligned} &(1)必要性：f是单同态\Rightarrow 1_{G'}\in G'的原像只有一个,即|Ker f|=1\\ &\Rightarrow f(g)=f(g)\cdot f(Ker f)=f(g\cdot Ker f)可知Ker f=\{1_G\}\\ &充分性：当Ker f=\{1_G\}时，f(g_1)=f(g_2)\Rightarrow f(g_1g_2^{-1})=1_{G'}\Rightarrow g_1g_2^{-1}\in Ker f\\ &g_1g_2^{-1}=1_G\Rightarrow g_1=g_2.由f(g_1)=f(g_2)\Rightarrow g_1=g_2可知f是单同态。\\ &(2)若f是满同态，则Imf=G'.根据同态基本定理,\overline f是同构映射。\;\;\;\Box\\ \end{aligned}​(1)必要性：f是单同态⇒1G′​∈G′的原像只有一个,即∣Kerf∣=1⇒f(g)=f(g)⋅f(Kerf)=f(g⋅Kerf)可知Kerf={1G​}充分性：当Kerf={1G​}时，f(g1​)=f(g2​)⇒f(g1​g2−1​)=1G′​⇒g1​g2−1​∈Kerfg1​g2−1​=1G​⇒g1​=g2​.由f(g1​)=f(g2​)⇒g1​=g2​可知f是单同态。(2)若f是满同态，则Imf=G′.根据同态基本定理,f​是同构映射。□​

同态基本定理的应用

定理3:设N◃G,H≤G.则(H∩N)◃H,N◃NH≤G,NH/N=∼H/H∩N\begin{aligned}&定理3:设N\triangleleft G,H\le G.则\\&(H\cap N)\triangleleft H,N\triangleleft NH\le G,NH/N\mathop{=}\limits^{\sim}H/H\cap N\end{aligned}​定理3:设N◃G,H≤G.则(H∩N)◃H,N◃NH≤G,NH/N=∼H/H∩N​

证

因为NH≤G，所以由N◃G可知N◃NH.下文都是关于映射f:H→NH/N,h↦Nh的讨论：根据映射的定义,h1=h2⇒Nh1=Nh2,映射f存在.∀NH/N中的元素,都可以表示为Nh(其中h∈H).故f是满射.NH/N的幺元是N=1‾.h∈Kerf⇔f(h)=Nh=N⇔h∈N所以kerf=H∩N所以(H∩N)◃H,根据同态基本定理,H/H∩N=∼NH/N□\begin{aligned} &因为NH\le G，所以由N\triangleleft G可知N\triangleleft NH.\\ &下文都是关于映射f:H\rightarrow NH/N,h\mapsto Nh的讨论：\\ &根据映射的定义,h_1=h_2\Rightarrow Nh_1=Nh_2,映射f存在.\\ &\forall NH/N中的元素,都可以表示为Nh(其中h\in H).故f是满射.\\ &NH/N的幺元是N=\overline 1.h\in Kerf\Leftrightarrow f(h)=Nh=N\Leftrightarrow h\in N\\ &所以kerf = H\cap N\\ &所以(H\cap N)\triangleleft H,根据同态基本定理,H/H\cap N\mathop{=}\limits^{\sim}NH/N\;\;\;\Box\\ \end{aligned} ​因为NH≤G，所以由N◃G可知N◃NH.下文都是关于映射f:H→NH/N,h↦Nh的讨论：根据映射的定义,h1​=h2​⇒Nh1​=Nh2​,映射f存在.∀NH/N中的元素,都可以表示为Nh(其中h∈H).故f是满射.NH/N的幺元是N=1.h∈Kerf⇔f(h)=Nh=N⇔h∈N所以kerf=H∩N所以(H∩N)◃H,根据同态基本定理,H/H∩N=∼NH/N□​

定理4:设N◃G,M◃G,N≤M,则G/M=∼G/NM/N定理4:设N\triangleleft G,M\triangleleft G,N\le M,则G/M\mathop{=}\limits^{\sim}\frac{G/N}{M/N}定理4:设N◃G,M◃G,N≤M,则G/M=∼M/NG/N​

证

设f:G/N→G/M,gN↦gM根据映射的定义，g1N=g2N⇒g2−1g1N=N⇒g2−1g1∈N故g2−1g1∈M⇒M=g2−1g1M⇒g2M=g1M.所以映射f存在。∀G/M中的元素都可以表示为gM(其中g∈G),gM的原像gN一定存在,所以f是满射.∀g1N,g2N∈G/N,f(g1N⋅g2N)=f(g1g2N)=g1g2M=g1M⋅g2M=f(g1N)⋅f(g2N),故f是满同态G/M的幺元是M=1‾gN∈Kerf⇔gM=M⇔g∈M⇔gN∈M/N所以Kerf=M/N根据同态基本定理，G/NM/N=∼G/M□\begin{aligned} &设f:G/N\rightarrow G/M,gN\mapsto gM\\ &根据映射的定义，g_1N=g_2N\Rightarrow g_2^{-1}g_1N=N\Rightarrow g_2^{-1}g_1\in N\\ &故g_2^{-1}g_1\in M\Rightarrow M=g_2^{-1}g_1 M\Rightarrow g_2M=g_1M.所以映射f存在。\\ &\forall G/M中的元素都可以表示为gM(其中g\in G),gM的原像gN一定存在,所以f是满射.\\ &\forall g_1N,g_2N\in G/N,f(g_1N\cdot g_2N)=f(g_1g_2N)=g_1g_2M\\ &=g_1M\cdot g_2M=f(g_1N)\cdot f(g_2N),故f是满同态\\ &G/M的幺元是M=\overline 1\\ &gN \in Ker f\Leftrightarrow gM=M\Leftrightarrow g\in M\Leftrightarrow gN\in M/N\\ &所以Ker f =M/N\\ &根据同态基本定理，\frac{G/N}{M/N}\mathop{=}\limits^{\sim}G/M\;\;\;\Box\\ \end{aligned} ​设f:G/N→G/M,gN↦gM根据映射的定义，g1​N=g2​N⇒g2−1​g1​N=N⇒g2−1​g1​∈N故g2−1​g1​∈M⇒M=g2−1​g1​M⇒g2​M=g1​M.所以映射f存在。∀G/M中的元素都可以表示为gM(其中g∈G),gM的原像gN一定存在,所以f是满射.∀g1​N,g2​N∈G/N,f(g1​N⋅g2​N)=f(g1​g2​N)=g1​g2​M=g1​M⋅g2​M=f(g1​N)⋅f(g2​N),故f是满同态G/M的幺元是M=1gN∈Kerf⇔gM=M⇔g∈M⇔gN∈M/N所以Kerf=M/N根据同态基本定理，M/NG/N​=∼G/M□​