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引言
本文是金融工程系列的第十篇
弄清量化金融十大话题 (上)
弄清量化金融十大话题 (下)
金融工程高度概览
日期生成
变量计算
模型校正
曲线构建 I - 单曲线
曲线构建 II - 多曲线(基差)
曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)
产品估值理论
产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)
产品估值 -偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)
产品估值 -蒙特卡洛模拟法 (MC)
产品风险理论 (AAD)
风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)
风险计量 -风险价值 (VaR)
价值调整 - 凸性调整
价值调整 - Quanto 调整
价值调整 -时间调整
价值调整 - CVA
价值调整 - DVA
价值调整 - FVA
价值调整 - MVA
价值调整 - KVA
Quanto 是 quantity-adjusting 的缩写，字面上是变量调整的意思。由于Quanto没有好的中文翻译，我们就直接用Quanto。带有 Quanto 衍生品的特点是标的物以货币A计价，但是产品本身是以货币B结算。
举个例子，一个中国投资者买了个标的物是苹果股票的欧式看涨期权，正常的期权费是以美元结算，但对于中国投资者期权费需要转成人民币，有两种方式：
非Quanto看涨期权：支付函数Π1 = (S(T) - K)+× XUSDCNY(T)
Quanto看涨期权：支付函数Π2= (S(T) - K)+× Q
其中S(T)是苹果股票在到期日T时的价格，K是行权价格，XUSDCNY(T)是美元人民币在到期日T时的即期汇率，而Q是 Quanto 因子，一般是美元人民币在T时点的远期汇率。Q 是常数，而XUSDCNY(T)是随机变量，它和标的价格S(T)有相关性。
当它们正相关时，Var(Π1)>Var(Π2)，非Quanto比Quanto看涨期权更值钱。
当它们负相关时，Var(Π1)<Var(Π2)，Quanto比非Quanto看涨期权更值钱。
由此可知对于 Quanto 产品，标的物和汇率（标的物货币和结算货币之间的汇率）的相关性系数对其定价起了关键作用。
在金融产品中，我们可以
用日元支付美元LIBOR（利率 Quanto）
用人民币支付苹果股票（股票Quanto）
用新加坡元支付黄金（商品Quanto）
用欧元支付标的为“美元/日元”的合约（外汇Quanto）
下面我们来细细研究每种类型的 Quanto。首先标识两个测度符号：
TCUR：CUR的远期测度
QCUR：CUR的风险中性测度
1
利率 Quanto
自然估值货币是欧元，结算货币是美元
考虑一份利率 Quanto 上限合约（IR Quanto Cap, IRQ Cap），标的利率是EUR EURIBOR，自然估值货币为EUR，但该合约以USD结算。该合约的支付是LEUR(U, U, T)的函数，其中 U 是EURIBOR定盘日，而T是支付日。由于是以USD结算，那么在TUSD测度下（注意不是TEUR测度），该利率上限的价值为
上式中Q是Quanto因子，通常是EURUSD的即期汇率或者在T时点的远期汇率。
EURIBOR LEUR(t, U, T) 在TEUR测度下是鞅，但在TUSD测度下不是，假设为它服从几何布朗运动，我们目标就是求出漂移项μ，
推导思路很巧妙，需要构造几个在TUSD测度下是鞅的变量，比如
XEURUSD(T)：利率平价公式推出的远期汇率为SEURUSD(t)·PEUR(t, T)/ PUSD(t, T)，分母是TUSD测度对应的等价物（numeraire）
LEUR(t, U, T)·XEURUSD(T)：表达式为LEUR(t, U, T)·SEURUSD(t)·PEUR(t,T)/PUSD(t, T)
为了简化符号，我们用L代表LEUR(t, U, T)，用X代表XEURUSD(T)，在推导中我们只关注dt
因为L·X 是鞅，那么漂移项为0，解得μ = -ρL,XσLσX。
对比LEUR(t, U, T) 在TEUR 和TUSD测度下的 SDE ，注意两个SDE对应的布朗运动项不一样。
两式相减可得到两个布朗运动之间的关系
自然估值货币是美元，结算货币是欧元
接着再考虑一个和上面IRQ Cap 相似的合约，其自然估值货币和结算货币正好相反，标的利率是USD LIBOR，自然估值货币为USD，但该合约以EUR结算，那么该合约在TEUR测度下的价值为
上式中Q是Quanto因子，通常是USDEUR的即期汇率或者在T时点的远期汇率。
现在我们目标是求出在 TEUR 测度下 LIBOR LUSD(t, U, T)的 SDE
推导思路和上面类似，需要构造几个在TEUR测度下是鞅的变量，比如
XUSDEUR(T)：表达式为SUSDEUR(t)·PUSD(t, T)/ PEUR(t, T)
LUSD(t, U, T) · XUSDEUR(T)：表达式为LUSD(t, U, T)·SUSDEUR(t)·PUSD(t,T)/ PEUR(t, T)
为了简化符号，我们用L代表LUSD(t,U, T)，用X代表XUSDEUR(T)，推导过程和上面一模一样，整理dt项前系数即可
因为L·X 是鞅，那么漂移项为0，解得，注意X是USDEUR的汇率，但市场通常是以EURUSD形式报价，那么波动率和相关系数表达式为
按照市场报价惯例，用 X代表EURUSD形式，根据上面两个等式，推出μ = ρL,XσLσX。
推广和总结
定义结算货币为Quanto货币，符号为QUT；自然估值货币为本币，符号为DOM，当QUTDOM
和市场报价惯例一致，比如EURUSD和USDJPY，μ = -ρL,XσLσX
和市场报价惯例不一致，比如USDEUR和JPYUSD，μ =ρL,XσLσX
对比在TDOM和TQUT测度下的LDOM(t, U, T) 的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项，±ρL,XσLσX
因此在估值Quanto合约时，我们只需调整LDOM(0, U, T) 值，然后直接带入非Quanto合约的公式中就行了。
其中ρL,X 根据「特定IBOR」和「特定货币对即期汇率」的历史数据计算出来。
2
商品和股票Quanto
商品和股票Quanto非常类似，因此我们只以商品Quanto举例。
自然估值货币是美元，结算货币是人民币
考虑一份商品 Quanto 看涨期权合约（Commodity Quanto Call, CMQ Call）标的商品是布伦特原油（brent oil），因此自然估值货币为USD，但用CNY结算。该合约的支付是商品价格CUSD(T) 的函数，T是支付日。由于是以CNY结算，那么在QCNY测度下（注意不是QUSD测度），期权价值为
上式中Q是Quanto因子，通常是USDCNY的即期汇率或者在T时点的远期汇率。
假设CUSD(t) 在QUSD测度下服从几何布朗运动，暂时忽略商品的便利收益（convenience yield），那么CUSD(t) 的SDE的漂移项为rUSD，我们目标是求出CUSD(t) 在QCNY测度下的漂移项μ，
推导思路很巧妙，构造变量 CUSD(t) · XUSDCNY(t)/βCNY(t) 使其在QCNY测度下是鞅，其中
XUSDCNY(t)：时点t的 USDCNY的汇率值
βCNY(t)：时点t 的CNY银行账户值
为了简化符号，我们用C代表CUSD(t)，用X代表XUSDCNY(t)，用β代表βCNY(t)，X 和β在QCNY测度下是鞅的 SDE 为
在推导中我们只关注dt
因为C·X/β是鞅，那么漂移项为0，解得μ = rUSD-ρC,XσCσX。
对比CUSD(t) 在QUSD 和QCNY测度下的 SDE ，注意两个SDE对应的布朗运动项不一样。
两式相减可得到两个布朗运动之间的关系
自然估值货币是人民币，结算货币是美元
接着再考虑一个和上面CMQ Call 相似的合约，标的商品是上海金（Shanghai gold），因此自然估值货币为CNY，但用USD结算，那么该合约在QUSD远期测度下的价值为
上式中Q是Quanto因子，通常是CNYUSD的即期汇率或者在T时点的远期汇率。
现在我们目标是求出在 QUSD 测度下CCNY(t) 的 SDE
推导思路和上面类似，构造变量 CCNY(t) ·XCNYUSD(t)/βUSD(t)使其在QUSD测度下是鞅。为了简化符号，我们用C代表CCNY(t)，用X代表XCNYUSD(t)，用β代表βUSD(t)，最后推出
因为C·X/β是鞅，那么漂移项为0，解得μ = rCNY-ρC,XσCσX。注意X是CNYUSD的汇率，但市场通常是以USDCNY形式报价，那么波动率和相关系数表达式为
按照市场报价惯例，用 X代表USDCNY形式，根据上面两个等式，推出μ = rCNY+ρC,XσCσX。
推广和总结
定义结算货币为Qunato货币，符号为QUT；自然估值货币为本币，符号为DOM。当QUTDOM
和市场报价惯例一致，比如USDCNY，μ = rDOM +ρC,XσCσX
和市场报价惯例不一致，比如CNYUSD，μ = rDOM-ρC,XσCσX
当考虑商品的便利收益q时，对比在QDOM和QQUT测度下的CDOM(t)的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项，±ρC,XσCσX
因此在估值Quanto合约时，我们只需调整商品价格C(T)的远期值F(0, T)，然后直接带入非Quanto合约的公式中就行了。
其中ρC,X 根据「特定商品即期价格」和「特定货币对即期汇率」的历史数据计算出来。
3
外汇 Quanto
考虑一份外汇Quanto 看涨期权合约（Foreign Exchange Quanto, FXQ），标的汇率是USDJPY，因此期权金自然估值货币为JPY，但用 EUR 结算。该合约的支付是汇率XUSDJPY(T)的函数，T是支付日。期权价值为
上式中Q是Quanto因子，通常是 JPYEUR 的即期汇率或者在T时点的远期汇率。
我们知道在QJPY测度下，XUSDJPY(t)的 SDE 为
但由于是以 EUR 结算，我们需要XUSDJPY(t)在QEUR测度下的SDE，使用外汇三角关系（triangle relationship）得到
再在QEUR测度下，写出XUSDEUR(t) 和XJPYEUR(t) 的 SDE 为
为了简化符号，我们
用X1, X2, X3代表XUSDJPY(t), XUSDEUR(t), XJPYEUR(t)，那么X1= X2/X3
用rE, rU, rJ 代表rEUR, rUSD, rJPY
用σ1, σ2, σ3代表σUSDJPY, σUSDEUR, σJPYEUR
用W1, W2,W3 代表WUSDJPY(t), WUSDEUR(t),WJPYEUR(t)
值得注意的是，这三个布朗运动是相关的
那么在QEUR测度下，对X1 求导得到
最后一行的证明如下。
推广和总结
在FXQ中，定义结算货币为Qunato货币，符号为QUT；给定货币对FORDOM，外币符号为FOR，本币符号为DOM。上式的ρ是FORDOM和DOMQUT对数收益率之间的相关性。
回到上面具体的合约，对一笔到期日为T的用EUR 结算的USDJPY外汇Quanto期权而言，QUT是EUR，FOR 是USD，DOM 是JPY，那么ρ是USDJPY和JPYEUR对数收益率之间的相关性，具体公式给定如下：
上式中的波动率都可从EURUSD、USDJPY和EURJPY 的ATM波动率曲线上T时点获取。
对比在QDOM和QQUT测度下的XFORDOM(t)的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项。
因此在估值Quanto合约时，我们只需调整即期汇率XFORDOM(T)的远期值FFORDOM(0, T)，然后直接带入非Quanto合约的公式中就行了。
4
总结
一表胜千言。
用M(t) 来抽象表示通用变量L(t, U, T), C(t), S(t) 和X(t)，它在自然估值货币DOM和结算货币QUT不同测度下的SDE可写成
两者之间的唯一差异就是μ，计算M(U) 在对应的两个测度下的期望，得到
因此定价Quanto产品分三步：
首先计算标的资产在到期日U的期望值F(0, U)
接着乘上Quanto调整项exp(μU) 得到F(0, U) × exp(μU)
最后将其带入已推导出来的非Quanto产品定价公式
下帖讲时间调整（Time Adjustment）。
Stay Tuned！
