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相机投影模型针孔相机模型像主点偏移内参矩阵畸变现象畸变矫正外参矩阵两类参数相机标定线性回归 (最小二乘)非线性优化标定过程实验过程MATLAB进行标定相机投影模型
针孔相机模型
针孔照相机模型是计算机视觉中广泛使用的照相机模型。该照相机从一个小孔采集射到暗箱内部的光线，在针孔照相机模型中，在光线投影到图像平面之前，从唯一一个点经过，即照相机中心C。如下图所示：
据x=fXZx=\frac{fX}{Z}x=ZfX以及y=fYZy=\frac{fY}{Z}y=ZfY可推出：
像主点偏移
内参矩阵
畸变现象
图像径向畸变透镜质量原因
光线在远离透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲桶状畸变
枕形畸变
畸变矫正
外参矩阵
两类参数
相机内部参数/内方位元素: 焦距、像主点坐标、畸变参数相机外部参数/外方位元素: 旋转、平移
相机标定
同步标定内部参数和外部参数，一般包括两种策略: 光学标定: 利用已知的几何信息(如定长棋盘格)实
现参数求解。自标定: 在静态场景中利用 structure from
motion估算参数。
线性回归 (最小二乘)
优点：
所有的相机参数集中在一个矩阵中，便于求解
通过矩阵可以直接描述世界坐标中的三维点，到二维图像平面中点的映射关系。缺点：
无法直接得知具体的内参数和外参数
求解出的11个未知量，比待标定参数（9个）更多。带来了参数不独立/相关的问题
对噪声/误差敏感
高精度的标定板难以制作
非线性优化
用概率的视角去看最小二乘问题
• 特征点投影方程:
• 给定{(ui,vi)}，标定参数矩阵 M 的似然函数为：
• 给定{(ui,vi)}，标定参数矩阵 M 似然函数的对数为:
相应求解策略: 牛顿方法、高斯-牛顿方法、Levenberg-Marquardt算法等
标定过程
打印一张棋盘格A4纸张（黑白间距已知），并贴在一个平板上针对棋盘格拍摄若干张图片（一般10-20张）在图片中检测特征点（Harris角点）根据角点位置信息及图像中的坐标，求解Homographic矩阵利用解析解估算方法计算出5个内部参数，以及6个外部参数根据极大似然估计策略，设计优化目标并实现参数的refinement相机标定优点：
• 仅需要平面标定板，拍摄若干张图片
• 标定板中的模式十分灵活，可以是棋盘格，也可以是其他几何结构已知的图形
• 实验结果表明具有很好的标定精度
• 具有很强的灵活性
实验过程
具体代码：
import cv2import numpy as npimport glob# 找棋盘格角点# 阈值criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)#棋盘格模板规格w = 11 #内角点个数，内角点是和其他格子连着的点h = 8# 世界坐标系中的棋盘格点,例如(0,0,0), (1,0,0), (2,0,0) ....,(8,5,0)，去掉Z坐标，记为二维矩阵objp = np.zeros((w*h,3), np.float32)objp[:,:2] = np.mgrid[0:w,0:h].T.reshape(-1,2)# 储存棋盘格角点的世界坐标和图像坐标对objpoints = [] # 在世界坐标系中的三维点imgpoints = [] # 在图像平面的二维点images = glob.glob('./camerapic/*.jpg')for fname in images:img = cv2.imread(fname)gray = cv2.cvtColor(img,cv2.COLOR_BGR2GRAY)# 找到棋盘格角点# 棋盘图像(8位灰度或彩色图像) 棋盘尺寸 存放角点的位置ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, (w,h),None)# 如果找到足够点对，将其存储起来if ret == True:# 角点精确检测# 输入图像 角点初始坐标 搜索窗口为2*winsize+1 死区 求角点的迭代终止条件cv2.cornerSubPix(gray,corners,(11,11),(-1,-1),criteria)objpoints.append(objp)imgpoints.append(corners)# 将角点在图像上显示cv2.drawChessboardCorners(img, (w,h), corners, ret)cv2.imshow('findCorners',img)cv2.imwrite('corner.jpg',img)cv2.waitKey(1000)cv2.destroyAllWindows()#标定、去畸变# 输入：世界坐标系里的位置 像素坐标 图像的像素尺寸大小 3*3矩阵，相机内参数矩阵 畸变矩阵# 输出：标定结果 相机的内参数矩阵 畸变系数 旋转矩阵 平移向量ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)# mtx：内参数矩阵# dist：畸变系数# rvecs：旋转向量 （外参数）# tvecs ：平移向量 （外参数）print (("ret:"),ret)print (("mtx:\n"),mtx) # 内参数矩阵print (("dist:\n"),dist)# 畸变系数 distortion cofficients = (k_1,k_2,p_1,p_2,k_3)print (("rvecs:\n"),rvecs) # 旋转向量 # 外参数print (("tvecs:\n"),tvecs) # 平移向量 # 外参数# 去畸变img2 = cv2.imread('./camerapic/12.jpg')h,w = img2.shape[:2]# 我们已经得到了相机内参和畸变系数，在将图像去畸变之前，# 我们还可以使用cv.getOptimalNewCameraMatrix()优化内参数和畸变系数，# 通过设定自由自由比例因子alpha。当alpha设为0的时候，# 将会返回一个剪裁过的将去畸变后不想要的像素去掉的内参数和畸变系数；# 当alpha设为1的时候，将会返回一个包含额外黑色像素点的内参数和畸变系数，并返回一个ROI用于将其剪裁掉newcameramtx, roi=cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx,dist,(w,h),0,(w,h)) # 自由比例参数dst = cv2.undistort(img2, mtx, dist, None, newcameramtx)# 根据前面ROI区域裁剪图片x,y,w,h = roidst = dst[y:y+h, x:x+w]cv2.imwrite('cameraresult.jpg',dst)# 反投影误差# 通过反投影误差，我们可以来评估结果的好坏。越接近0，说明结果越理想。# 通过之前计算的内参数矩阵、畸变系数、旋转矩阵和平移向量，使用cv2.projectPoints()计算三维点到二维图像的投影，# 然后计算反投影得到的点与图像上检测到的点的误差，最后计算一个对于所有标定图像的平均误差，这个值就是反投影误差。total_error = 0for i in range(len(objpoints)):imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist)error = cv2.norm(imgpoints[i],imgpoints2, cv2.NORM_L2)/len(imgpoints2)total_error += errorprint(("total error: "), total_error/len(objpoints))
在上述代码中，要根据实际棋盘格大小对w,h进行修改。
角点检测结果：
重投影误差：
内参矩阵：
畸变系数：
外部参数：
旋转向量：
rvecs:(array([[-0.53751538],[-0.27349341],[-1.50241459]]), array([[-0.5302993 ],[ 0.33237322],[ 1.48401626]]), array([[0.08588183],[0.36752958],[1.56637276]]), array([[-0.29483233],[-0.13898612],[ 1.65743176]]), array([[-0.15481409],[-0.23173761],[ 1.58424361]]), array([[-0.38077198],[-0.23630795],[-1.61963336]]), array([[-0.06514084],[-0.4745765 ],[-1.6579657 ]]), array([[-0.5965594 ],[-0.12665278],[-0.04111309]]), array([[-1.04189225],[-0.20493687],[-0.0993469 ]]), array([[-0.65034096],[ 0.52544057],[ 1.5196254 ]]), array([[-0.59853968],[ 0.44154684],[ 1.43108717]]), array([[-0.50919899],[ 0.27562852],[ 1.48795902]]), array([[-0.50340326],[ 0.23135469],[ 1.49072473]]), array([[-0.81105537],[-0.51656905],[-1.38415545]]), array([[-0.55954844],[-0.36797778],[-1.44723869]]), array([[-0.23832677],[-0.10963373],[-1.54632327]]), array([[ 0.1900795 ],[-0.91458788],[-2.99245331]]))
平移向量：
tvecs:(array([[-3.78627999],[ 4.10406551],[16.17246088]]), array([[ 2.73704475],[-4.85252413],[21.55524262]]), array([[ 3.75185182],[-4.19235299],[17.0177269 ]]), array([[ 4.42589014],[-2.62115354],[20.53702283]]), array([[ 4.40443606],[-4.07921583],[20.53349159]]), array([[-4.88768598],[ 4.99617116],[19.13016927]]), array([[-5.95585207],[ 4.87125293],[15.35060197]]), array([[-9.57964448],[ 0.07111093],[24.2308]]), array([[-9.45676579],[ 4.81349824],[21.23485356]]), array([[ 4.91589789],[-6.65930971],[21.02923743]]), array([[ 3.09430201],[-5.78925973],[20.92347233]]), array([[ 2.70764752],[-6.49958949],[20.39641733]]), array([[ 2.4584561 ],[-5.0849619 ],[20.91293371]]), array([[-2.73430696],[ 3.46792206],[14.36343795]]), array([[-3.80156349],[ 1.99915271],[15.60973349]]), array([[-4.39262479],[ 2.84919034],[18.16028186]]), array([[ 2.12616603],[ 8.30914049],[15.52773437]]))
反投影误差:
畸变矫正：
原图：
校正后的图：
