北大计算机考研 高等数学真题解答
年( 5 题 60 分)
1 (12 分) f ( x ) 有连续的二阶导数， f ( a) 0 ，求
lim
x a
f (x
1
a )
f
(a
)
f
1
(a
)
。
2 (12 分) f ( x ) 在 a , b 上连续且 f ( a) f (b ) 0 ，f ( a) f ( b) 0 ，证明：在 a, b
上必有一点 u 使得 f (u ) 0 。
1 ln x
3 (12 分)求不定积分 dx
2
( x ln x)
。
2 2
tf (x t ) x
4 (12 分) f ( 0) 0 且 f (0) 0 ， f ( x ) 有连续的导数，求 dx
lim 。
x 0 4
0
x
1
5 (12 分) f ( x ) 在0 附近可导且导数大于 0，证明无穷级数 )
f 发散，无穷级
(
n
1
n 收敛。数 ) ( 1) f (
n
年( 5 题 60 分)
2 x 2
1 (12 分)求不定积分 e x dx
(tan 。
1)
2 x 2 2 x 2 2 x 解： e x dx
(tan 1) e sec xdx e 2 tan xdx
e
2 x tan e x
2 x
d x tan
e
2 x tan e2 x C 。
x
d x tan
1
2 (12 分)求连续函数 f ( x ) ，使它满足 ( ) ( ) sin , (0) 0 f tx dt f x x x f 。
0
解：令 u tx , 则t 0 时，u 0 ，t 1时，u x ，du xdt ；
1
0
f (tx )dt
1
x 0
x
f
(u
)
du f ( x) x sin x
x
0
f
2
(u )du xf ( x) x sin x
2
f ( x) f ( x) xf ( x ) 2 x sin x x cos
x
f ( x) 2 sin x x cos x
f ( ) cos sin f ( 0) 1 C 0 C 1 f ( x ) cos x x sin x 1 。
x x x x C
x y
3 (12 分)设 n ， ,( 1,2, ) 。
n n
0 1 n
x y , x x y y
1 1 n n n 1
2
证明：
lim 和lim n 都存在并相等。
x y
n
n n
解： y 0 xn 0, y n 0， xn y n xn yn 2 xn y n
1 x
1
y
n yn xn (n 1, 2, ) ；
1 x ( n 0 ,1, )
n 1
x y
n n
yn x n y y 0 yn 1 yn { yn } 单调递减；
( n 1, 2, )
n 1 n
2
y
n xn 1 xn yn xn xn xn { xn } 单调递增；
x ( n 1, 2, )
n
由以上两结论可知：
y
n { yn } 有下界，于是
n 1
x x
lim 存在；
y
n
n
xn { xn } 有上界，于是 n
y lim x 存在。
y
n 1
n
令lim x A y B ，由
, lim
n n
x x
x y
n n
x ， 有：
x y y
n 1 n n n 1
2
A B
A ， 解得 A B 1 ，所以 lim lim n 1
AB x y 。
B
n
2
x x
4 (12 分)求和
2 2 2 3 2 n
n 2 3 。
S x x x n x
解：(1) 若 x 1，
S
n
2 3 2
2
1 n n (n 1)( 2n 1) / 6 ；
2
(2) 若 x 1，S x
n
1 2
2 32
2 2
x x n
x
n
1
x
Tn (S x )dx
n
0
x
2 3 n
2 x 3x nx T x
n
1
2
x
3
x
2 n 1
nx
x
0
2 3 n
(Tn x )dx
x x x x
x(1
1
n
x
x
)
T
n
x
x(1
1
x
x
n
)
x[1 ( n 1)
(1
n
x
x)
2
nx
n 1
]
S
n
x
x[1
(
n
(1
1)
x
x
n
)
2
nx
n
1
]
x
2
x
(n 1)
2 n 1
x
(
(1
2
2n
x)
3
2
n
1)
n 2 2 n
x n x
3
。
5 (12 分)求极限
1
lim 。
n n 1 1
n( ) ( 2n )
n
n
1 1
lim n n( n 1) ( 2n 1) n
exp ln lim
n
n n
n
n ( n 1) (2 n 1)
exp
lim
n
1
n
ln[
n
n
(1
1
n
)
(1
n 1
n
)]
exp
lim
n
1
n
[ln(
1
0
)
ln(
1
1
n
)
ln(
1
n
