newmark法程序newmark法程序
用matlab编程法
一、法原理
Newmark-?法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-?法假定：
(1-1)
(1-2)
式中，?和?是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。当?=0.5，?=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t到t+?t时刻的速度不变，取为常数。研究表明，当?≥0.5，??≥0.25(0.5+?)2时，Newmark-?法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用及，，表示的，表达式，即有
(1-3)
(1-4)
考虑t+?t时刻的振动微分方程为：
(1-5)
将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于ut+?t的方程
(1-6)
式中
求解式(2-146)可得，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出和。
由此，Newmark-?法的计算步骤如下：
1.初始计算：
(1)形成刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]；
(2)给定初始值， 和；
(3)选择积分步长?t、参数?、?，并计算积分常数，，，，
，，，；
(4)形成有效刚度矩阵；
2.对每个时间步的计算：
(1)计算t+?t时刻的有效荷载：
(2)求解t+?t时刻的位移：
(3)计算t+?t时刻的速度和加速度：
Newmark-?方?t的大小不影响解的稳定性，?t的选择主要根据解的精度确定。
法计算
四层框架结构在顶部受一个简谐荷载的作用，力的作用时间=5s，计算响应的时间为100s，分2000步完成。阻尼矩阵由Rayleigh阻尼构造。
具体数据如下图：
图一：计算简图
法程序
m=[1,2,3,4];
m=diag(m);
k= [800 -800 0 0;
-800 2400 -1600 0;
0 -1600 4800 -3200;
0 0 -3200 8000];
c=0.05*m+0.02*k;
f0=100;
t1=5;
nt=2000;
dt=0.01;
alfa=0.25;
beta=0.5;
a0=1/alfa/dt/dt;
a1=beta/alfa/dt;
a2=1/alfa/dt;
a3=1/2/alfa-1;
a4=beta/alfa-1;
a5=dt/2*(beta/alfa-2);
a6=dt*(1-beta);
a7=dt*beta;
d=zeros(4,nt);
v=zeros(4,nt);
a=zeros(4,nt);
for i=2:nt
t=(i-1)*dt;
if (t
ke=k+a0*m+a1*c;
fe=f+m*(a0*d(:,i-1)+a2*v(:,i-1)+a3*a(:,i-1))+c*(a1*d(:,i-1)+a4*v(:,i-1)+a5*a(:,i-1));
d(:,i)=inv(ke)*fe;
a(:,i)=a0*(d(:,i)-d(:,i-1))-a2*v(:,i-1)-a3*a(:,i-1);
v(:,i)=v(:,i-1)+a6*a(:,i-1)+a7*a(:,i);
end
计算结果截图
最后程序分别计算出四个质点的位移、速度、加速度响应。
现将部分截图如下：
1、位移响应：
图二：1质点的位移
图三：4质点的位移
2、速度响应
图四：1质点的速度
图五：4质点的速度
3、加速度响应
图六：1质点的加速度响应
图七：4质点的加速度响应
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