2. 认识Beta/Dirichlet分布
2.1 魔鬼的游戏—认识Beta 分布
统计学就是猜测上帝的游戏,当然我们不总是有机会猜测上帝，运气不好的时候就得揣度魔鬼的心思。有一天你被魔鬼撒旦抓走了，撒旦说：”你们人类很聪明，而我是很仁慈的，和你玩一个游戏，赢了就可以走，否则把灵魂出卖给我。游戏的规则很简单，我有一个魔盒，上面有一个按钮，你每按一下按钮，就均匀的输出一个[0,1]之间的随机数，我现在按10下，我手上有10个数，你猜第7大的数是什么，偏离不超过0.01就算对。“ 你应该怎么猜呢？
从数学的角度抽象一下，上面这个游戏其实是在说随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n {\stackrel{\mathrm{iid}}{\sim}} Uniform(0,1)$，把这$n$ 个随机变量排序后得到顺序统计量 $X_{(1)},X_{(2)}，\cdots, X_{(n)}$, 然后问 $X_{(k)}$ 的分布是什么。
对于不喜欢数学的同学而言，估计每个概率分布都是一个恶魔，那在概率统计学中，均匀分布应该算得上是潘多拉魔盒，几乎所有重要的概率分布都可以从均匀分布$Uniform(0,1)$中生成出来;尤其是在统计模拟中，所有统计分布的随机样本都是通过均匀分布产生的。
潘多拉魔盒Uniform(0,1)
对于上面的游戏而言 $n=10,k=7$, 如果我们能求出 $X_{(7)}$ 的分布的概率密度，那么用概率密度的极值点去做猜测就是最好的策略。对于一般的情形，$X_{(k)}$ 的分布是什么呢？那我们尝试计算一下$X_{(k)}$ 落在一个区间 $[x, x+\Delta x]$ 的概率，也就是求如下概率值
$$ P( x \le X_{(k)} \le x+\Delta x) = ? $$
把 [0,1] 区间分成三段 $[0,x), [x,x+\Delta x], (x+\Delta x,1]$,我们先考虑简单的情形，假设$n$ 个数中只有一个落在了区间 $[x, x+\Delta x]$内，则因为这个区间内的数$X_{(k)}$是第$k$大的，则$[0,x)$中应该有 $k-1$ 个数，$(x,1]$ 这个区间中应该有$n-k$ 个数。不失一般性，我们先考虑如下一个符合上述要求的事件$E$
\begin{align*}
E = \{ & X_1 \in [x, x+\Delta x], \\
& X_i \in [0,x)\quad (i=2,\cdots,k), \\
& X_j \in (x+\Delta x,1] \quad (j=k+1,\cdots,n)\}
\end{align*}
事件 $E$
则有
\begin{align*}
P(E) & = \prod_{i=1}^nP(X_i) \\
& = x^{k-1}(1-x-\Delta x)^{n-k}\Delta x \\
& = x^{k-1}(1-x)^{n-k}\Delta x + o(\Delta x)
\end{align*}
$o(\Delta x)$表示$\Delta x $的高阶无穷小。显然，由于不同的排列组合，即$n$个数中有一个落在 $[x, x+\Delta x]$区间的有$n$种取法，余下$n-1$个数中有$k-1$个落在$[0,x)$的有$\binom{n-1}{k-1}$种组合，所以和事件$E$等价的事件一共有 $n\binom{n-1}{k-1}$个。继续考虑稍微复杂一点情形，假设$n$ 个数中有两个数落在了区间 $[x, x+\Delta x]$，
\begin{align*}
E’ = \{ & X_1,X_2\in [x, x+\Delta x], \\
& X_i \in [0,x) \quad (i=3,\cdots,k), \\
& X_j \in (x+\Delta x,1] \quad (j=k+1,\cdots,n)\}
\end{align*}
事件E’
则有
$$ P(E’) = x^{k-2}(1-x-\Delta x)^{n-k}(\Delta x)^2 = o(\Delta x)$$
从以上分析我们很容易看出，只要落在$[x, x+\Delta x]$内的数字超过一个，则对应的事件的概率就是 $o(\Delta x)$。于是
\begin{align*}
& P( x \le X_{(k)} \le x+\Delta x) \\
& = n\binom{n-1}{k-1}P(E) + o(\Delta x) \\
& = n\binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-k}\Delta x + o(\Delta x)
\end{align*}
所以，可以得到$X_{(k)}$的概率密度函数为
\begin{align*}
f(x) & = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{P( x \le X_{(k)} \le x+\Delta x)}{\Delta x} \\
& = n\binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-k} \\
& = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}x^{k-1}(1-x)^{n-k} \quad x \in [0,1]
\end{align*}
利用Gamma 函数，我们可以把 $f(x)$ 表达为
$$ f(x) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}x^{k-1}(1-x)^{n-k} $$
还记得神奇的 Gamma 函数可以把很多数学概念从整数集合延拓到实数集合吧。我们在上式中取$\alpha=k, \beta=n-k+1$, 于是我们得到
\begin{equation}
f(x) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
\end{equation}
这个就是一般意义上的 Beta 分布！可以证明，在$\alpha,\beta$取非负实数的时候，这个概率密度函数也都是良定义的。
好，我们回到魔鬼的游戏，这$n=10,k=7$这个具体的实例中，我们按照如下密度分布的峰值去猜测才是最有把握的。
$$ f(x) = \frac{10!}{(6)!(3)!}x^{6}(1-x)^{3} \quad x \in [0,1] $$
然而即便如此，我们能做到一次猜中的概率也不高，很不幸，你第一次没有猜中，魔鬼微笑着说：“我再仁慈一点，再给你一个机会，你按5下这个机器，你就得到了5个[0,1]之间的随机数，然后我可以告诉你这5个数中的每一个，和我的第7大的数相比，谁大谁小，然后你继续猜我手头的第7大的数是多少。”这时候我们应该怎么猜测呢？
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