Gauss消去法
高斯消去法：高斯消去法由消元和回代两个过程组成，前者是对增广矩阵进行初等行变换（交换两行位置；用一个数乘某一行加到另一行上面），使其系数矩阵变为上三角矩阵。可以分为顺序高斯消去法和列主元素高斯消去法。
顺序高斯消去法
在高斯消去法的消元过程中只对方程的增广矩阵做“用一个数乘某一行加到令一行上面”的初等行变换。
定理：顺序高斯消去法前n-1个主元素均不为0的充要条件是系数矩阵的前n-1个顺序主子式均不为0。
只有当系数矩阵不为奇异矩阵且前n-1个顺序主子式不为0时才可以使用高斯顺序消去法。即使第k个主元素不为0，但要是比较小会使m较大，造成舍入误差累积增大，因此高斯消去法没有稳定性保证。
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX 10 //最大为10阶方程组double A[MAX][MAX];double b[MAX];double X[MAX];int NUM;void Input_Matrix()//输入矩阵{int i,j;printf("系数矩阵A的阶数:\n");scanf("%d",&NUM);for(i=1; i<=NUM; i++){printf("系数矩阵A的第%d行元素:\n",i);for(j=1; j<=NUM; j++)scanf("%lf",&A[i-1][j-1]);}printf("右端项b:\n");for(i=1; i<=NUM; i++){scanf("%lf",&b[i-1]);}printf("输入的系数矩阵A:\n");for(i=0; i<NUM; i++){for(j=0; j<NUM; j++)printf("%.4lf\t",A[i][j]);//\t表示加上之前的内容总共空8个字符printf("\n");}printf("输入的右端项b:\n");for(i=0; i<NUM; i++)printf("%.4lf\n",b[i]);}int main(){int i,j,k;float mik;//消元过程所用变量float S;//回代过程所用变量Input_Matrix();//消元for(k=0; k<NUM-1; k++){if(!A[k][k]) //A[k][k]=0时算法失效return -1;for(i=k+1; i<NUM; i++){mik=A[i][k]/A[k][k];for(j=k; j<NUM; j++){A[i][j]=A[i][j]-mik*A[k][j];}b[i]=b[i]-mik*b[k];}}printf("消元后的矩阵A:\n\n");for(i=0; i<NUM; i++){for(j=0; j<NUM; j++)printf("%.4lf\t",A[i][j]);printf("\n");}printf("消元后的右端项b:\n\n");for(i=0; i<NUM; i++)printf("%.4lf\n",b[i]);//回代X[NUM-1]=b[NUM-1]/A[NUM-1][NUM-1];for(k=NUM-2; k>=0; k--){S=b[k];for(j=k+1; j<NM; j++){S=S-A[k][j]*X[j];}X[k]=S/A[k][k];}printf("结果X=\n\n");for(i=0;i<NUM;i++)printf("%.4lf\n",X[i]);return 0;}
