Lec05 光栅化1（三角形）

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Lec05 光栅化1（三角形）投影变换（续）光栅化视口变换（Viewport Transformation）光栅化设备（补充知识）三角形光栅化采样的概念三角形采样采样速度优化存在的不足

投影变换（续）

如何表示近平面的大小（l, r, b, t）和远近平面的距离（n, f）呢？事实上，用户只需设定四个参数：

垂直视锥（vertical field of view）近平面宽高比（aspect ratio = width / height）近平面距离 n远平面距离 f

（注意！上图是一张3D透视图）

由三角形关系可知，tan⁡forvY2=tn\tan\frac{forvY}{2}=\frac{t}{n}tan2forvY​=nt​，aspect=rtaspect=\frac{r}{t}aspect=tr​，又l=−rl=-rl=−r，b=−tb=-tb=−t，至此所有信息都可以通过用户输入信息转化而来。

小结：MVP变换

Medel transformation (placing objects)View transformation (placing camera)Projection transformation Orthographic projection (cuboid to “canonical” cube [-1, 1]3)Perspective projection (frustum to “canonical” cube)

光栅化

我们已经把三位的图像投射到二维平面上了，接下来的任务就是要在屏幕上显示出来。

屏幕，其实就是像素（Pixel, short for picture element）的阵列。屏幕显示的结果与分辨率（resolution，也即像素的数量）和光栅显示方法（raster display）有关。

光栅化（rasterize），就是控制像素的显示，从而把图像“绘制”到屏幕上的过程。raster在德语中正是屏幕（screen）的意思。

在本课程中，为讨论方便，我们把像素简化为颜色统一的正方形，并定义屏幕空间如下：

每个像素块的下标用整数对(x, y)来表示。

视口变换（Viewport Transformation）

我们在MVP变换中得到一个[-1, 1]3的立方体，现在需要把这个立方体投射到屏幕上。这里先不考虑z坐标，只在xy平面内进行变换：把[-1, 1]2变换为[0, width] * [0, height].

从正则立方体到屏幕的变换正是视口变换。其变换矩阵如下：

Mviewport=[width200width20height20height200100001]M_{viewport}= \begin{bmatrix} \frac{width}{2}&0&0&\frac{width}{2}\\ 0&\frac{height}{2}&0&\frac{height}{2}\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} Mviewport​=⎣⎢⎢⎡​2width​000​02height​00​0010​2width​2height​01​⎦⎥⎥⎤​

光栅化设备（补充知识）

在实际的显示设备中，每个像素并不是一块统一的颜色，而是由RGB色块组成的：

在屏幕上光栅化的设备，除了电脑显示器，还有示波器（Osciliosope）、阴极射线管（Cathode Ray Tube）、电视（CRT原理，可以每次只画奇数行/偶数行）、帧缓冲设备（调用内存里存储的图像）、液晶显示屏（LCD，Liquid Crystal Display，通过液晶的排布影响光的偏振方向，从而控制光能否通过光栅）、发光二极管（LED，Light Emitting Diode）、电子墨水屏（Eletrophoretic Display，如Kindle），etc.

除此以外，也并不一定是绘制到屏幕上。如：数控精雕机（CNC Sharpie Drawing Machine）、激光切割机（Laser Cutting Machine），etc.

三角形光栅化

为什么常常使用三角形作为拆解图形的单位？因为它有很多不错的性质：

三角形是最小的多边形，可以拆分其他多边形三角形在同一平面内的三角形的内外定义清晰，可以用叉乘判断内外三角形内可以定义明确的插值方法

在经过MVP变换和视口变换之后，我们可以得到一个三角形顶点的精确坐标，接下来所要做的就是用像素近似地显示出来。

我们将采用“采样”的方法来实现。

采样的概念

采样一个函数：在离散的点上对函数进行采样（求值），从而把连续的函数离散化（discretize）。

图形学中采样也有广泛的应用：时间（1D）、区域（2D）、体积（3D），etc.

再举个例子：在人体内任何一个位置得到其密度，也是一种三维的采样。

三角形采样

类似地，对三角形的采样可以作如下解释：

给定一个三角形，对每个像素判断其中心是否在三角形内。

for (x=0; x<xmax; ++x)for (y=0; y<ymax; ++y)image[x][y] = inside(tri, x+0.5, y+0.5);

而判断是否在三角形内，就要用到Lec02中叉乘的知识了：

若P1P2⃗×P1Q⃗\vec{P_1P_2}\times \vec{P_1Q}P1​P2​​×P1​Q​，P2P0⃗×P2Q⃗\vec{P_2P_0}\times \vec{P_2Q}P2​P0​​×P2​Q​，P0P1⃗×P0Q⃗\vec{P_0P_1}\times \vec{P_0Q}P0​P1​​×P0​Q​ 同号，则Q在三角形内。

对于边界情况（比如某个像素中心在两个三角形的公共边上），我们不必过多关注。可以自定义处理办法：比如，如果你认为边上的点算在三角形内，那么这个点就同时在这两个三角形内。

采样速度优化

为了加速采样，我们有两种简单的方法：

包围盒（Bounding Box） 递增遍历（Incremental Triangle Traverse），即对每一行，只采样三角形经过的最左像素到最右像素。该方法只适用于窄长、旋转的三角形（这种情况下包围盒不高效）

存在的不足

这样采样过后，三角形并不是平滑的，而是会出现很多锯齿。

我们将在下节课介绍反走样技术（Antialiasing）。