假设两个正态总体分别为：X∼N(μ1,σ12)X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2)X∼N(μ1,σ12)和Y∼N(μ2,σ22)Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)Y∼N(μ2,σ22). X1,...,XnX_1,...,X_nX1,...,Xn为来自正态总体X的样本；Y1,...,YnY_1,...,Y_nY1,...,Yn为来自正态总体Y的样本。两个样本相互独立。并记X‾,Y‾,S12,S22\overline X, \overline Y, S_1^2, S_2^2X,Y,S12,S22分别为两样本的均值和方差。
1. σ12，σ22\sigma_1^2， \sigma_2^2σ12，σ22已知
该情形下的检验统计量为：
X‾−Y‾σ12n1+σ22n2∼N(0,1)\frac{\overline X - \overline Y}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0, 1)n1σ12+n2σ22X−Y∼N(0,1)
1.1. 双边假设检验
假设形式：H0:μ1−μ2=0H1:μ1−μ2≠0H_0: \mu_1-\mu_2 =0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0H0:μ1−μ2=0H1:μ1−μ2=0
p值为：
pval=P{∣Z∣≥∣z0∣}pval=P\{|Z| \ge |z_0|\}pval=P{∣Z∣≥∣z0∣}
1.2. 左侧检验
假设形式：H0:μ1−μ2≥0H1:μ1−μ2<0H_0: \mu_1-\mu_2\ge0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\lt0H0:μ1−μ2≥0H1:μ1−μ2<0
p值为：
pval=P{Z≤z0}pval=P\{Z \le z_0\}pval=P{Z≤z0}
1.3. 右侧检验
假设形式：H0:μ1−μ2≤0H1:μ1−μ2>0H_0: \mu_1-\mu_2\le0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\gt0H0:μ1−μ2≤0H1:μ1−μ2>0
p值为：
pval=P{Z≥z0}pval=P\{Z \ge z_0\}pval=P{Z≥z0}
2. σ12=σ22=σ2\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2σ12=σ22=σ2但未知
该情形下的检验统计量为：
X‾−Y‾Sw1n1+1n2∼t(n1+n2−2)\frac{\overline X - \overline Y}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)Swn11+n21X−Y∼t(n1+n2−2)
上式中sw2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_w^2=\frac{(n_1-1)s_1^2 +(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}sw2=n1+n2−2(n1−1)s12+(n2−1)s22
2.1. 双边假设检验
假设形式：H0:μ1−μ2=0H1:μ1−μ2≠0H_0: \mu_1-\mu_2 =0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0H0:μ1−μ2=0H1:μ1−μ2=0
p值为：
pval=P{∣T∣≥∣t0∣}pval=P\{|T| \ge |t_0|\}pval=P{∣T∣≥∣t0∣}
2.2. 左侧检验
假设形式：H0:μ1−μ2≥0H1:μ1−μ2<0H_0: \mu_1-\mu_2\ge0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\lt0H0:μ1−μ2≥0H1:μ1−μ2<0
p值为：
pval=P{T≤t0}pval=P\{T \le t_0\}pval=P{T≤t0}
2.3. 右侧检验
假设形式：H0:μ1−μ2≤0H1:μ1−μ2>0H_0: \mu_1-\mu_2\le0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\gt0H0:μ1−μ2≤0H1:μ1−μ2>0
p值为：
pval=P{T≥t0}pval=P\{T \ge t_0\}pval=P{T≥t0}
3. σ12≠σ22\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2σ12=σ22且未知
此时以样本方差S12,S22S_1^2, S_2^2S12,S22分别代替σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2σ12,σ22. 取检验统计量为：
T=X‾−Y‾S12n1+S22n2T = \frac{\overline X - \overline Y}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}T=n1S12+n2S22X−Y
3.1. 当样本容量很大时，利用中心极限定理统计量T近似服从标准正态分布
这种情形下，可以利用1.中的算法求解
3.2. 当样本容量较小时，统计量T服从自由度为k的t分布
这种情形下，自由度k可以粗略计算得：
k=min(n1−1,n2−1)k=min(n_1-1, n_2-1)k=min(n1−1,n2−1)
然后参照2.进行计算求解。
4. Python代码实现
在scipy.stats包含两个正态总体均值的检验函数, 其函数原型：
stats.ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True, nan_policy='propagate')
5. 实例验证
例1：随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得:他们的脉搏率如下:
男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,
女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.
为题：假设男女脉搏率都是服从正态分布，这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同？
解：H0:μ1−μ2=0H1:μ1−μ2≠0H_0:\mu_1-\mu_2=0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0H0:μ1−μ2=0H1:μ1−μ2=0
该问题问双边检验。Python计算如下：
import numpy as npfrom scipy import statsdata1 = np.array([61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55, 72, 56, 56, 74, 65])data2 = np.array([83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108, 76, 70, 97])equal_var = Trueif np.var(data1, ddof=1) > np.var(data2,ddof=1)*2 or np.var(data2,ddof=1) >np.var(data1, ddof=1)*2:equal_var = False-, pval = stats.ttest_ind(data1, data2, equal_var=equal_var)# 结果:pval = 0.03205611305825045
由于pval = 0.03205611305825045 < 0.05， 拒绝原假设，可以认为男女的脉搏率不相同。
6. 联系交流
-email: hflag@
-qq:532843488
