资产组合理论(Portfolio Theory)
解决如何恰当选择若干种证券,以及各种证券的数量,让投资者在一定收益水平下,承担的风险最小,或者在一定风险水平下收益最高。
马科维茨首次提出资产组合理论(Portfolio Theory),提出用均值与方差的概念来衡量证券和证券组合的收益和风险。主要解决了资产的选择问题。
理论假设
1、投资者全部都是风险规避者,要求获得与所承担风险相匹配的收益。
2、投资者只进行单期投资。
3、不考虑税收。
4、投资者理性。
5、投资者只用两个指标来决定有价证券的价格,分别是预期收益和风险。
期望收益
E(r)=∑i=1nPiriE(r)=\sum_{i=1}^nP_ir_i E(r)=i=1∑nPiri
资产未来收益率是随机的,每一种不同收益率 rir_iri 都受不同的市场环境影响,不同市场环境出现的概率是 PiP_iPi 。
风险
σ2=∑i=1nPi[ri−E(r)]2\sigma^2=\sum_{i=1}^{n}P_i[r_i-E(r)]^2 σ2=i=1∑nPi[ri−E(r)]2
用收益率(价格)的方差(或标准差)表示风险。
组合1:风险资产和风险资产的组合
风险资产1:收益率 r1r_1r1 ,期望收益 E(r1)E(r_1)E(r1) ,标准差 σ1\sigma_1σ1 ,投资比例是 www ;
风险资产2:收益率 r2r_2r2 ,期望收益 E(r2)E(r_2)E(r2) ,标准差 σ2\sigma_2σ2 ,投资比例是 1−w1-w1−w ;
于是组合Q的收益、期望和标准差分别是:
rQ=wr1+(1−w)r2r_Q=wr_1+(1-w)r_2 rQ=wr1+(1−w)r2
E(rQ)=wE(r1)+(1−w)E(r2)E(r_Q)=wE(r_1)+(1-w)E(r_2) E(rQ)=wE(r1)+(1−w)E(r2)
σQ=w2σ12+(1−w)2σ22+2w(1−w)σ1σ2ρ\sigma_Q=\sqrt{w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\sigma_1\sigma_2\rho} σQ=w2σ12+(1−w)2σ22+2w(1−w)σ1σ2ρ
不忘初心:选择若干证券,以及各种证券的数量。让投资者在一定收益水平下,承担的风险最小,或者在一定风险水平下收益最高。
即函数极值问题:
minσQ2\min{\sigma_Q^2} minσQ2
可求得最小方差投资比例:
w∗=σ22−σ1σ2ρσ12+σ22−2σ1σ2ρw^*=\frac{\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2\rho}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho } w∗=σ12+σ22−2σ1σ2ρσ22−σ1σ2ρ
结论:多样化投资能有效降低非系统性风险
推广:多种风险资产组合
期望收益:
E(rQ)=∑i=1nwiE(ri)E(r_Q)=\sum_{i=1}^nw_iE(r_i) E(rQ)=i=1∑nwiE(ri)
∑i=1nwi=1\sum_{i=1}^nw_i=1 i=1∑nwi=1
组合标准差:
σQ=∑i=1n∑j=1nwiwjρijσiσj\sigma_Q=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j} σQ=i=1∑nj=1∑nwiwjρijσiσj
重要概念
1、可行集:投资者面临的所有可能的投资组合的集合。
2、有效组合边界:可行集中全局最小方差以上的最小方差集
基金分离定理
1、在风险组合有效边界上,任意两个相分离的点都代表两个分离的有效风险投资组合。
2、在有效边界上,任意其他的点,所代表的投资组合,也都可以由这两个分离组合,再组合一次组合生成。
总结
组合期望收益与各原组合成员期望收益是线性关系。
组合风险与各原组合成员风险非线性关系(ρ≠±1\rho\neq\pm1ρ=±1)。
只要能掌握每一组股票的风险和期望收益,以及两项资产间的相关系数,就能在股市上不断的构造新组合,达到在给定风险水平上收益更高,在给定收益水平上风险更低。
不能无止境的通过组合来实现更低风险和更高收益的组合,存在一个边界。
两个资产越负相关越好,风险可以相互抵消。
托宾的理论
引入无风险借贷,马科维茨的有效集蜕变成一条射线。
一条经过无风险资产并且与马科维茨有效集相切于一点的射线,叫资本市场线。
组合2:风险资产和无风险资产的组合
风险资产是 RRR ,收益率 rRr_RrR, 期望收益 E(rR)E(r_R)E(rR) ,标准差 σR\sigma_RσR ,投资比例 www
无风险资产 FFF, 收益率 rFr_FrF ,期望收益 E(rF)E(r_F)E(rF) ,标准差 σF\sigma_FσF ,投资比例 1−w1-w1−w
组合 QQQ 的收益、期望、标准差分别是:
rQ=wr1+(1−w)r2r_Q=wr_1+(1-w)r_2 rQ=wr1+(1−w)r2
E(rQ)=wE(r1)+(1−w)E(r2)E(r_Q)=wE(r_1)+(1-w)E(r_2) E(rQ)=wE(r1)+(1−w)E(r2)
σQ=wσR\sigma_Q=w\sigma_R σQ=wσR
资本市场线(Capital Market Line)
E(rQ)=rF+E(rR)−rFσFσQE(r_Q)=r_F+\frac{E(r_R)-r_F}{\sigma_F}\sigma_Q E(rQ)=rF+σFE(rR)−rFσQ
夏普比率
资本市场线的斜率,表示单位风险补偿,投资者愿意承担每一单位风险所要求的额外收益。
分离定理
1、考虑到无风险投资时,投资者在选择最优锋线组合的时候,与风险偏好无关,只要找到切点就行。
2、根据自己的风险偏好,在资本市场线上选择一部分风险资产和最优风险资产的组合。
3、1与2是分离的。先用数学方法确定最优风险组合,再确定一个由无风险资产和风险资产组合所组成的组合。
超过切点的组合:用无风险利率借钱投资。