微分中值定理

罗尔（Rolle）微分中值定理

设 f(x) 在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)=f(b).又假设 y=f(x) 在(a,b)内可导，则必存在一点 c∈(a,b)，使得 f'(c)=0

简单来说就是一个连续且可导的函数，在两个相等的端点中间必存在一条水平切线。

拉格朗日（Lagrange）微分中值定理

函数在闭区间 [a,b] 连续，开区间 (a,b) 可导，则比存在一点属于开区间内的数，使得

这个公式是什么意思呢，主要表达的意思是，在这个连续的函数上，存在某一点的斜率，诶！这个斜率啊，正好等于闭区间两端组合成一个直线的斜率，也就是两个直线平行。其实也是罗尔中值定理的进一步变换

那我们怎么证明拉格朗日中值定理呢

推论一

闭区间连续，开区间可导，f'(x)=0,则f(x) 恒等于 C，其中 C 是常数

推论二

设 f(x),g(x) 在闭区间连续，在开区间可导，f'(x) = g'(x)，则 f(x) = g(x) + C

柯西（Cauchy）微分中值定理

柯西中值定理的特殊形式，g(t)=t 时，就相当于是拉格朗日中值定理。

泰勒公式

我们先讲一下泰勒公式的作用。用简单的多项式函数来表现复杂的函数，以 n 阶导无限接近原函数，也就是说通过改变系数，我们可以写出任何函数曲线，送读者们一颗心，【旺柴】方便后面能多算几道题

泰勒公式我们在另一篇文章已经有了通俗易懂的解释，想要有个总体性的认知的同学可以先看一下那一篇

数学原理-高等数学复习笔记 ——1.1 泰勒公式 泰勒展开式

上面的 Rn(x) 称为泰勒公式余项，而我们写的泰勒多项式确并不是与此相同，这就是由佩亚诺后期对泰勒公式进行进一步修改后，缩小的泰勒公式余项的范围

泰勒公式实战

理论其实很容易就理解，为了防止日后再次把泰勒公式计算过程忘记，这次我决定算一算题目，我从网上找了一道题，大家可以先看题目，计算完答案，再看我的计算过程

这里说了，麦克劳林公式，也就是说让我们在 x=0 的位置做展开(不带 ^ ，带括号，表示下标, ^ 表示上标）

也就是我们要求这个 a(k) = f^k(0)/k!

这里函数是一个指数函数 exp(x)，也就是说多少阶都是她本身

（如果有同学有兴趣还可以看一下为什么 exp（x） 的导数等于他本身 指数函数 f(x)=exp(x) 求导后为什么还是它本身？）

a(k) = f^k(0)/k! = 1/(k!）我们每次求泰勒展开基本都是求这个公式，把每个 x 前的通项求出来即可,也就是 f^k(x)

f(x） = f(0) + (f'(0)/1!)x + (f''(0)/2!)x^2+...+(f^n(0)/n!)x^n + o(x^n)

= 1+1*x +...+x^n/n! + o(x^n) (x -> 0)

这样我们就完成了

大家可以再试着自己做做这道题

过程我就不多阐述，我把通项的值挂出来

a(k) = f^k(0)/k!

求 f^k(sin0)

f^k(sinx) = sin(x+kπ/2)

f'(0) = (sin0)' =1

f''(0) = (sin0)'' = 0

f^k(0) = sin(kπ)

为奇数次导数时 = （-1）^n k = 2n+1

为偶数的时候 = 0 k = 2n

这个可以大家自己算算看

不过也不是所有的题目都可以无脑的进行多阶求导

先做一下变形

f(x) = 1/2 - 1/2cos(x+2x^2)

= 1/2 -1/2(cos2cos(2x^2) - sin2sin(2x^2))

也就是我们只要做 cos(2x^2) 和 sin(2x^2) 的展开就好

也就是 cosx 展开的变形

也有的题目不会那么绝情，会让你求几阶就好了

第一步，常规套路，我们先尝试一下暴力求导

会发现变成了 两个未知项相乘 f'(x) = -exp(cosx) * sinx

这种越边越多的套路，除非你真的很能算，最好还是另寻方法

第二步，我们观察这个函数，复杂的地方也只有 cosx ，我们可以尝试一下换元法

但我们之前能成功换元，原因是因为我们换不换元，都是趋向于 0 的。

而这里是趋向于 1 的，那我们可以让它趋向于 0 吗？

第三步，让它趋向于 0

拆一个 e 出来即可

f(x) = e * exp(cosx-1)

....

作者算到这里的时候已经头壳隐隐作痛，希望好心的读者把剩下的步骤写出来

再留几道附加题：

为了防止读者猝死，留下几个减少脑负担的常见公式

后面的文章会讲解一下这个余项的原理与内容

以及各种导数的数学文章，（好吧我知道写反了，该先写导数）

数学原理-高等数学复习笔记 ——1.2 泰勒公式 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理（附加多个实战题目）