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引言
本文是金融工程系列的第十一篇
弄清量化金融十大话题 (上)
弄清量化金融十大话题 (下)
金融工程高度概览
日期生成
变量计算
模型校正
曲线构建 I - 单曲线
曲线构建 II - 多曲线(基差)
曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)
产品估值理论
产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)
产品估值 -偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)
产品估值 -蒙特卡洛模拟法 (MC)
产品风险理论 (AAD)
风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)
风险计量 -风险价值 (VaR)
价值调整 - 凸性调整
价值调整 - Quanto 调整
价值调整 -时间调整
价值调整 - CVA
价值调整 - DVA
价值调整 - FVA
价值调整 - MVA
价值调整 - KVA
时间调整（Timing Adjustment）在以下情况产生：当一个市场变量 Y 在时点 T 观察到并用Y(T) 计算支付函数，但支付发生在观察时点T后的时点M (M > T)。
那么从T 远期测度下到M 远期测度下的RN 衍生物为
那么和变量Y(T) 挂钩的金融产品的现值为
以上推导涉及到测度转化，详细介绍参考〖量化金融十大课题 (下)〗一贴。
接下来，我们通过非利率产品、和 LIBOR 挂钩的利率产品，和 CMS 挂钩的利率产品来讲解时间调整。
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非利率产品
对于非利率产品，比如外汇、商品和权益产品，利率风险因子对产品估值的影响远不如其他风险因子对其估值影响大。因此为了简化问题，我们通常假设利率不是随机变量，上面估值公式中的P(T, M) 也不是随机变量，可从期望符号中提出来。此外，远期测度也就是风险中性测度，我们可以把期望符号上标符号去掉。
假设利率是随机变量，用 F(t, T, M) 表示从 T 到M 付息频率为 m 的远期利率，那么P(T, M) = 1/(1+F/m)m(M-T)。这时我们需要推出风险因子S(t) 在M远期测度下的SDE的漂移项μ。构建S(t)/P(t,M) 变量，它和远期利率 F 在M远期测度下是鞅，因此 d(S/P) 和 dF 的漂移项为零。S和F 在M远期测度下的的 SDE 可写成
我们目标是为了推导出μ，根据伊藤定理展开d(S/P)，而关注点在dt 项前面的系数。
因为S/P 是鞅，那么漂移项为0，解得
风险因子 S(T) 在M和T远期测度下的期望的关系如下，两者的差异就是时间调整。
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和 LIBOR 挂钩的利率产品
LIBOR-in-Arrears
LIBOR在T时点定盘，在M时点到期，
在普通利率到期（IRS）中，和LIBOR挂钩的现金流在M时点支付（先定盘后支付），而在LIBOR-in-arrears (LIA) 中，和LIBOR挂钩的现金流在T时点支付（同时定盘和支付）。
用L(T) 代表L(T; T, M)，用 τ 代表时点M 和时点T 之间的年限（通常用act/360 惯例），我们得到
上式从第二行到第三行的推导理由如下图所示：
现在只需要求出在M测度下 L2(T) 的期望。首先M 测度下L(t)是鞅（漂移项是零）并服从以下的 SDE
其中σ 是 ATM caplet 波动率。
将L(T)带入VLIA(0)公式中得出
LIBOR-with-Delay
考虑完 LIA 的现金流之后，我们再看一个更通用的和LIBOR 挂钩的现金流，它可以发生在定盘日 T 之后的任意时点 Tp。该类型的现金流叫做 LIBOR-with-delay (LD)。下图比较IRS 现金流，LIA现金流和LD 现金流。
在 Tp 远期测度下，LD现金流的现值为
在期望符号里面只有 P(T, Tp) 不能写成 L(T) 的函数，我们可以用Terminal Swap Rate (TSR) 模型将两者建立一个函数关系。TSR模型通常在支付函数中有额外的零息债表达式P(T, ·)时使用，基本建模思想就是把零息债用远期利率L(T) 或掉期利率S(T) 来表示，这样可将支付函数化简成只含 L(T) 或 S(T)。
方法一：用Swap-Yield类型的 TSR 模型来表示 P(T, Tp)
上述公式在 Tp = M 和 Tp = T 的两个特殊情况下是合理的。
将P(T, Tp) 带入 VLD(0) 表达式得到
在不用带期限结构的利率模型下，求解该期望不是很容易，在业界中更常用的 Linear Swap Rate 模型。
方法二：用Linear Swap Rate类型的 TSR 模型来表示 P(T, Tp)/P(T, M)
参数a 和b(Tp) 的推导如下。
带入VLD表达式中做进一步的化简：
当 Tp = M 时（IRS）和当Tp = T 时（LIA），VLD(0)确实化简成两个特殊情况
LIBORAverage Swap
在市场上一般没有LIBOR-with-Delay这样的金融产品，但是它们可以作为组成其他产品的基本元素，比如均值掉期（Average Swap, AS）。均值掉期的现金流是在 Tp 时点支付一段时间内的 LIBOR，其现值的公式如下
上面求和每一项都是一个LIBOR-with-Delay的现金流，可以用上面描述的TSR模型的方法来计算。
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和 CMS 挂钩的利率产品
利率产品挂钩的指标主要有两个：LIBOR 和 CMS，前者是远期利率（forward rate），后者是掉期利率（swap rate）。前者也可以看成是后者的一种特殊情况，即LIBOR是只有一期的CMS。
CMS 全称是 Constant Maturity Swap，注意该掉期利率Sn,m(t) 的分母是年金 An,m(t)，因此 Sn,m(t) 在年金测度 QA 是鞅，在任何的远期测度下都不是鞅。
用S(t) 代表 Sn,m(t)，A(t) 代表An,m(t)，求S(T) 在 Tp 时点的期望有两个调整项：
凸性调整：从年金测度QA 到 T 远期测度
时点调整：从T 远期测度到Tp 远期测度
在实际估值中，我们索性一步到位，从年金测度 QA直接到 Tp 远期测度。
类比LIBOR-with-Delay的现金流，我们来看看CMS-with-Delay 的支付在Tp 的现金流的计算方法。在 Tp 远期测度下，该现金流的现值为
我们可用Linear Swap Rate类型的 TSR 模型来表示 P(T, Tp)/A(T)
参数a 和b(Tp) 的推导如下。
带入VCMS表达式中做进一步的化简：
式中σ 是ATM Swaption 波动率。
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总结
到目前三种类型的估值调整已经全部讲完，我们总结一下：
凸性调整：在风险中性测度和远期测度下变量的差异
Quanto调整：在货币一测度和货币二测度下变量的差异
时间调整：在T1远期测度和T2远期测度下变量的差异
之所以要做调整，本质上是因为变量在不同测度下的值不同，因此量化这些调整需要测度变换（change of measure），这是下帖的内容。
前方高能温馨小贴士：下帖的数学推导密度相当高。Be Prepared！
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