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引言
本文是金融工程系列的第九篇
弄清量化金融十大话题 (上)
弄清量化金融十大话题 (下)
金融工程高度概览
日期生成
变量计算
模型校正
曲线构建 I - 单曲线
曲线构建 II - 多曲线(基差)
曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)
产品估值理论
产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)
产品估值 -偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)
产品估值 -蒙特卡洛模拟法 (MC)
产品风险理论 (AAD)
风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)
风险计量 -风险价值 (VaR)
价值调整 - 凸性调整
价值调整 -时间调整
价值调整 -Quanto调整
价值调整 - CVA
价值调整 - DVA
价值调整 - FVA
价值调整 - MVA
价值调整 - KVA
金融产品的估值调整分两类：
和远期变量有关：凸性调整、时间调整和Quanto调整
XVA系列：CVA、DVA、FVA、MVA 和KVA
本帖讲凸性调整，先介绍什么是凸性，再定性分析得到远期和期货之间的差异，最后定量分析计算各类期货的凸性调整项。
1
凸性
在利率市场要了解凸性，我们必须了解欧洲美元期货（Eurodollar Futures, EDF）市场与远期利率协议（Forward Rate Agreement, FRA）市场之间的相似之处。这两个市场都是高流动性的大市场，对短期利率定价有很大的影响。
凸性偏差（convexity bias）的产生的本质就是期货市场与远期市场之间的收益差异，如下图所示。
EDF合约的支付函数为 Nfut×(1 – 0.25F)，其中Nfut是本金1,000,000美元，F是期货利率。当F上升1个基点（basis point）即0.01%，那么EDF合约价格变动–0.25Nfut×∆F = -25美元，EDF合约买方像卖方支付25 美元。
见上面左图，EDF合约价格和EDF基础利率有线性关系，即对于1单位的利率变动，价格变动是常数，具体来说
如果利率上升1 个基点，则EDF合约价格减少25美元
如果利率下降1 个基点，则EDF合约价格增加25美元
由于有折现影响，FRA合约价格和利率没有这样的线性关系，而是呈现上面右图的凸性关系。期货利率和远期利率的关系可参考〖变量计算〗一贴。
弄清了凸性偏差产生的原因后，接着就要调整凸性，即做凸性调整（convexity adjustment），有定性（qualitive）和定量（quantitative）两种方法。
2
定性方法
定义在t时点观测到T开始U结束的远期利率 L 和期货利率F：
当t = 0 时，远期和期货利率之间的差异为
一般折现因子D(0,U) 和利率 L(T) 成反比，因此两者之间的协方差小于零，因此期货利率F(0)大于远期利率L(0)。证明如下：
我们可写出
除了远期和期货利率之间的有以上关系，远期和期货价格之间也有类似关系，如下
这些价格可以是股票或者商品价格，到期日只有一个T，上面关系可转换成下面的数学表达式
有时候，在股票或商品市场上假设利率不是随机的，那么折现因子也不是随机的，那么折现因子和即期价格的协方差为零，这时远期价格等于期货价格。证明如下：
一般折现因子D(0,T) 和即期价格 S(T) 成正比，因此两者之间的协方差大于零，因此期货价格Fut(0,T) 小于远期价格Fwd(0, T)。
3
定量方法
3.1
理论推导
定性方法可以大概分析出不同资产类别下面的凸性调整项（CA项）的符号，要精确计算其值还需要定量方法。以利率类举例，计算在Q-测度下的远期利率：
接着就是用各种利率模型（Black, Hull-White (HW)或者HJM）来推导P(T,U)了。
以HW模型举例，在Q-测度下，短利率（short rate）r(t) 服从以下随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）:
其中κ(t) 是均值回归速率，σr(t) 是短利率的波动率，而θ(t) 是均值水平。为了能使HW 模型计算出来的折现因子和市场曲线匹配，θ(t) 应该被校正为
其中f(0, t)是瞬时远期利率，表达式为f(0,t) = -∂lnP(0, t)/∂t，本帖后面详细讲解如何计算它。
上面θ(t)太过于复杂了，通过定义 x(t) = r(t) – f(0, t)，我们可在后面去掉它。这时推出x(t)的随机微分方程如下：
推导出HW模型下的零息债价格P(t,T) 为
上面结果是Piterbarg 和Andersen在【1】推导出来的，注意模型参数是和时间相关的。如果假设模型参数是常数的话，即κ和σr，我们可以得到Brigo 和 Mercurio在【2】推导出来的结果。
对比Piterbarg和Andersen的版本和Brigo和Mercurio的版本，我们发现
个人更喜欢Piterbarg和Andersen的版本，因为它更加通用和一致，尤其在高维的情况下。本小节为了符号简洁，便采用常参数，即用Brigo和 Mercurio的版本。这时短利率r(T)的表达式化简如下：
根据随机微积分的性质，不难得到r(T) 的均值和方差，以及r(T) 和r(U)的协方差：
有了以上各种 r(T) 的统计量，我们可以计算在Q-测度下的远期利率了。
最后一步我们用了性质：当X是正态变量时
E[exp(aX)]= exp(aE[X]+0.5a2Var[X])
上述公式适用于各类的基准利率，当
U = T+1D时，L(T, T, U) 可以模拟隔夜利率
U = T+1W时，L(T, T, U) 可以模拟RIBA期货中的7天利率
U = T+3M时，L(T, T, U) 可以模拟IBOR期货中的3个月利率
3.2
具体案例
IBOR 期货
IBOR 期货的基准利率一般都是3个月的IBOR，用L(T, T, U) 表示，其中U和T相差3个月。该利率在Q-测度下的期望为
其中
需要注意的是，虽然T和U出现多次，但在δ(T, U) 遵循ACT/360 惯例，而在其它地方遵循ACT/365惯例。
在上式中，假设市场曲线零息利率R(0, t)是用一元三次条方法来插值，我们可以计算出f(0, t)，首先根据定义
假设R(0, t) 的期限结构表示为：(t1,R1)、…、(tm,Rm)。对任一时点 t属于[tk-1, tk]，曲线上的零息利率为：
其中c3,k, c2,k, c1,k, c0,k 为[tk-1, tk] 区间上三次多项式的系数。根据上式可计算R(0, t) 的一阶导，如下：
这是我们可以任意时点t上的f(0, t) 值了。
1 个月 OIS 期货
1个月OIS期货包括SOFR-1M和FedFund-1M期货，其支付基于在参考月（reference month）中每个工作日上隔夜利率的算术平均，将其平均利率定义为R：
其中
n = 在合约参考月中工作日的总天数
L(ti, ti, ti+1) = 第 i 个工作日ti上的隔夜利率
di = L(ti, ti, ti+1) 生效的天数(当星期五时di = 3，当其他工作日时di = 1)
D = Σidi = 在合约参考月中日历日的总天数
当估值日为ts，考虑历史定盘，利率R在Q-测度下的期望为
注意δi是从ti 到ti+1遵循 ACT/360 惯例计算出来的年限，在本例中等于1/360。
3 个月 OIS 期货
3个月OIS期货包括SOFR-3M, EONIA-3M和SONIA-3M期货，其支付基于在参考季度（reference quarter）中每个工作日上隔夜利率的几何平均，将其平均利率定义为R：
其中
n =在合约参考月中工作日的总天数
L(ti,ti, ti+1) =第i个工作日ti上的隔夜利率
di= L(ti, ti, ti+1)生效的天数(当星期五时di= 3，当其他工作日时di= 1)
D = Σidi =在合约参考月中日历日的总天数
当估值日为ts，考虑历史定盘，利率R在Q-测度下的期望为
其中
RIBA 期货
RIBA期货在斯特哥尔摩交易所交易的期限为3个月的期货，其支付基于在参考季度中每周利率的几何平均，将其平均利率定义为R：
其中
n = 在合约参考季度中工作日的总天数
L(ti, ti, ti+7) = 第 i 个工作日ti上的七天利率
di = 7 = L(ti, ti, ti+7) 生效的天数
D = Σidi = 在合约参考季度中日历日的总天数
当估值日为ts，考虑历史定盘，利率R在Q-测度下的期望为
其中
3.3
模型校正
HW模型参数校正有两种方法：
如果基准利率（如 USD LIBOR和EUR EURIBOR 等等）有Cap和Swaption市场，那么用隐含波动率来校正参数。用ATM Cap波动率举例，最小化一系列ATM Cap的市场价格和模型价格之间的差异，来找出“最优”κ和σr
如果基准利率（如SOFR OIS 和FedFund OIS等等）没有Cap和Swaption市场，那么用历史波动率来校正参数。首先推导出HW模型下零息利率的波动率σHW(t, T)表达式
再用零息利率的一年历史数据（260工作日，t = -260, …, -1）上每个标准期限{T1,…, Tk, …, TK} 上的值，计算历史波动率
最小化一系列标准期限的历史波动率和模型波动率之间的差异，来找出“最优”κ和σr
[1]Interest Rate Modeling. Volume 2: TermStructure Models, Chapter 10
Andersen L.B.G., Piterbarg V.V.
[2]Interest Rate Models – Theory and Practice,with Smile, Inflation and Credit, Chapter 3
Damiano Brigo, Fabio Mercurio
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