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今日任务:
一般方程:
方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):
额外知识
咦,咋跑题了
左除和右除
今日总结:
今日任务:
在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解,特别是线性代数中,很经常遇见线性方程组的求解问题,今天就来用Matlab来探讨线性方程组的求解问题。
一般方程:
一般来讲,我们看到的方程都是这个样式的:,其中a、b都是常数,很显然,这时候 x 的解就是b/a。
也就是说,我们拿后面的值除以前面的系数,即可得到解X。
方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):
刚刚我们讲的是一般方程,那推广到线性方程组,假设我们现在有个这样的方程:
相信大家运用高中知识也能很快的求出这个方程的答案,但是,如果四阶?五阶甚至更高呢?不如转换为矩阵的方法。
根据线性代数的知识,我们可以得到这样一个增广矩阵:
那我们令系数矩阵是A,结果矩阵是B,这个解矩阵X该怎么算呢?
额外知识
此部分提供给还未学过线性代数的同学看,如果知道基本知识可以先行跳过。
上面的矩阵方程可以视为这样的矩阵方程:
其中,令X为未知数的矩阵,前面的三乘三的系数矩阵称为A,等号右边的结果矩阵称为B,方程组即可表述为:
AX = B,求X。
矩阵A的列数和矩阵X的行数相同时才可写成此种形式,因为当A的列数(这里是三列)等于X的行数(这里是三行)才能进行矩阵乘法运算。
矩阵乘法运算是这样的:
易看出:如果A是 n 行 m 列,则X需要是m 行 s列才可相乘,且结果矩阵必是 n 行 s 列。
所以按照上面的运算法则,我们就可以看出,矩阵方程和原来的方程组是等价的。
咦,咋跑题了
我们已经得到了方程组对应的矩阵方程:,那么编程的第一件事就应该是在程序里面表述这个方程组。下面看代码:
%% 方程组求解clc;clear;A = [4 1 -2;2 2 1;3 1 -1];% 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开B = [1;2;3]; %定义矩阵Bdisp(A);disp(B); %显示A和B
现在我们便可以在程序中得到两个矩阵,分别是A和B,定义的时候也可以不换行,但是换行定义看起来毕竟方便、易读。
运行代码就能看到我们定义的这两个矩阵:
同样,我们也可以在右边的工作区查看我们的这两个变量:
在这个工作区,我们看到的数据会更加的直观,就像图中这样:
现在,我们得到了两个矩阵,万事俱备,只欠东风,我们现在只需要一个除法即可得出这个解矩阵X。
现在在最后面加入这个代码:
X = A\B; % 左除disp(X);
可能会有些人觉得奇怪,怎么A在左边并且这个写的是斜杠呢?
如果我们学习过矩阵便知道,矩阵的乘法是没法前后调换的,即 AB 不等于 BA,也就是说,AX = B,要求这个X,我们需要在两边的左边同时除以A(严谨说法叫做乘以A的逆矩阵),即 1/A * A *X = 1/A * B,也叫做左除,而在matlab中,左除符号就是这个“ \ ”符号,所以应这样使用,即 A \ B代表 1/A * B(严谨来说,就是A的逆矩阵*B),即可得到X。
运行后我们便可看到解矩阵的结果:
大家可以手动动手验证一下看看对不对哈哈哈。
左除和右除
上面讲的是左除,下面我们来说说右除,也就是在右边乘以1/A(严谨说法叫做A的逆矩阵),那么这个方程组应该是这样的:
XA = B
如果A和B不变的话,对应的矩阵应该是这样的:
然后根据乘法的运算法则,可以发现,这个方程是没法解的(因为根本就没法乘,前面矩阵1列,后面矩阵3行,不相等,没法进行乘法运算)
所以,如果进行这样的乘法运算,我们需要把X的解矩阵变换(注意,变换后乘出来的结果和之前的方程组不一样,不一样!):
那么根据运算律,我们可以得到现在的方程组是:
注:不一定有解,毕竟是现改的。
那么这个X如何求呢?
根据原方程: XA = B,我们需要在等号两端的右边同时乘以 1/A(严谨来说是A的逆矩阵),即:
X * A * 1/A = B * 1/A(左右千万不能放错) ==> X = B*1/A
在代码中,右除是这样写的(注意代码改动,因为矩阵B变了):
%% 方程组求解,右除clc;clear;A = [4 1 -2;2 2 1;3 1 -1];% 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开B = [1 2 3]; %定义矩阵Bdisp(A);disp(B); %显示A和BX = B/A; % 右除disp(X);
然后运行:
咦,居然有解!!!!