文章目录
特殊矩阵
矩阵的基本概念
求解线性方程组
直接求解
判定求解
特殊矩阵
零矩阵、1矩阵及单位矩阵
生成nxn方阵：
A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n)
生成mxn矩阵：
A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n)
生成和矩阵B同样位数的矩阵：
A=zeros(size(B))**
生成nxm阶标准均匀分布伪随机数矩阵(0-1)：
A=rand(n,m)
生成nxn阶标准均匀分布伪随机数方阵：
A=rand(n)
对角元素矩阵
已知向量生成对角矩阵：
A=diag(V)
已知矩阵提取对角元素列向量：
V＝diag(A)
生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵：
A=diag(V,k)
生成n阶的Hilbert矩阵：
A=hilb(n)
求取逆Hilbert矩阵：
B=invhilb(n)
Hankel(汉克 ) 矩阵
其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。
H1=hankel(C,R)
Vandermonde(范德蒙)矩阵
V = vander(C)
伴随矩阵
B = compan(P)
P(s)为首项系数为1的多项式
符号矩阵的输入,数值矩阵A转换成符号矩阵：
B=sym(A)
A =
1.0000 0.5000 0.3333
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
B=sym(A)
B =
[ 1, 1/2, 1/3]
[ 1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/3, 1/4, 1/5]
矩阵的基本概念
求行列式
d=det(A)
矩阵的迹
t=trace(A)
矩阵的秩
r=rank(A) ％用默认的精度求数值秩
r=rank(A，a ) ％给定精度下求数值秩
如果 矩阵的秩为r，小于矩阵的阶次n，故为**非满秩矩阵**
矩阵范数
(p = 2, 2范数，向量的范数，各分量平方和开根号)
N=norm(A) ％求解默认的2范数
N=norm(A，选项) ％选项可为1,2,inf等
特征多项式
C=poly(A)
例：>> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1];
poly(A) ％直接求取
ans =
1.0e+03 *
0.0010 -0.0340 -0.0800 2.7200 0.0000
A=sym(A); charpoly(A) ％运用符号工具箱
ans =
[ 1, -34, -80, 2720, 0]
矩阵的逆矩阵
C=inv(A)
hilb的逆矩阵
计算误差范数：
norm(H*inv(H)-eye(size(H))
对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv( )，可用符号工具箱
奇异矩阵不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具箱的函数也不行
奇异矩阵与非奇异矩阵
矩阵的相似变换与正交矩阵
其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。
相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化，其值与A矩阵完全一致。
对于一类特殊的相似变换满足如下条件，称为正交矩阵。
正交基矩阵
Q = orth(A)
特征值
eig(A)
求解线性方程组
直接求解
A*X = B
左除：X= A\ B
% 反斜杠\反斜杠计算方法速度更快，
而且残差减少了几个数量级。err_inv 和 err_bs 均为 1e-6 的阶数。
X*A = B
右除：X= B/ A
判定求解
判定矩阵为C;
判定定理：
当m = n, rank (A)= rank ( C ) = n ,有唯一解。X = inv(A)*B
当rank (A)= rank ( C ) =r < n ,有无穷多解。
求取A矩阵的化零矩阵：
Z=null(A)
特解
x0=pinv(A)*B % 得出一个特解
通解：
syms a1 a2;
x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 %这里是r = 2, a1, a2 是随机数(数值解)，或者符号(解析解)
3.当rank (A)<= rank ( C ) ,只能用摩尔－彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解不满足原始代数方程。
x = pinv(A)*B
后面会更新更高级的解法！
子曰：温故而知新
