1. 基本指数信号
设
与 为两个基本指数信号,其中 和 分别为连续时间域和离散时间域的角频率。
1.1 连续时间域
连续时间域中,如果满足 ,则 是周期信号,其周期为 ,;角频率 越大,信号的振荡频率越快;当 时, 与 是正交的,且角频率不区分正负。
第1点与第2点很明显;如果能证明现
与 的内积为0,便可证明第3点。 设 为两信号周期的最小公倍数, , ,则 。两信号的内积为 。
1.2 离散时间域
离散时间域中,如果满足 , 和 为整数,则当且仅当 ,即 是有理数时, 为周期信号。如果以 为自变量, 是周期信号,即 , 。随着 变化,根据第2点性质 ,信号不是完全不同的(此处不同于连续时间域),即每隔 会出现相同的信号。
2. 傅里叶变换的实质
为了更方便的展示傅里叶变换如何在信号空间表示,首先以三维信号如何在三维欧几里得空间表示为例,如图1所示。
在三维欧几里得空间中,共有3个两两正交的线,即有3个基,下边介绍在此空间中表示三维信号
的过程。首先,将 分别与三个基进行内积操作,即 ,得到在三个基上的分量;其次,将三个分量在三个基上进行线性叠加,即 ,便得到了向量 在此三维欧几里得空间中的表示。
那么信号
如何在信号空间中表示呢?设信号 是连续非周期信号,其信号空间中的基频是 。在信号空间中,当 时, 与 是正交的,所以在信号空间中有无穷多的基。与欧几里得空间中的操作相同,首先,将信号 与信号空间中的基进行内积操作,即 ;其次,将信号 在各个基上的分量 与对应的基进行线性叠加(线性加权和),即 ,便得到了此信号在信号空间中的表示。上述投影过程,称为Fourier变换,线性加权和称为Fourier逆变换。
3. Dirichlet 条件
一个连续时间域内的非周期信号
如果有傅里叶变换,必须满足Dirichlet条件,即信号 是绝对可积的,即 ;在任意一个有限的区间内必须有有限个极大值和极小值;在任意一个有限的区间内必须有有限个不连续点。
第1点意味着信号的能量必须是有限的;第2点和第3点表示信号要足够光滑。
4. 连续周期信号的傅里叶变换(连续时间傅里叶级数)
设信号
是周期信号,满足 ,其中 为基本(最小)周期,则其基信号为 ,且 。其Fourier变换为 ;逆变换为 。称为信号 为傅里叶级数展开, 为傅里叶级数的系数。
周期信号如果有傅里叶变换,需要满足的Dirichlet条件为
信号 在任意周期内是绝对可积的,即 ;在任意周期内必须有有限个极大值和极小值;在任意周期内必须有有限个不连续点。
5. 离散周期信号的傅里叶变换(离散时间傅里叶级数)
设
为离散周期信号,且满足 ,即 ,这相当于把一个圆分成了N份(可参考虚部表示旋转),所以其基频信号为 。
信号
的Fourier变换可表示为 ,傅立叶逆变换为 。
注意,离散周期信号中不同的频率信号为有限个,连续周期信号不同的频率信号为无限个。
6. 离散非周期信号的傅里叶变换
设
为离散非周期信号,其基信号为 ,则Fourier变换为 ,因 , 的傅里叶逆变换为 。
7. 小结
7.1 连续信号
周期信号,基信号
;非周期信号,基信号 。
7.2 离散信号
周期信号,基信号
;非周期信号,基信号 。
7.3 例子
设信号
。因计算机只能处理离散数据,所以,这个例子以1024Hz的采样频率对1s中的数据进行采样,获得离散序列 。在python中为
# 设信号周期为1s,采样频率为1024
并对其逆行Fourier变换
# Fourier变换
结果分别如图2和图3所示。完整代码在我的Github中(基于python),建议动手操作一下。