矩阵空间
矩阵空间是对向量空间的扩展，因为矩阵的本质是向量，所以与向量空间类似，也存在矩阵空间。
在向量空间中，任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的，所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间，在空间内的任意两个矩阵的加法和数乘也在该空间内。例如，M是所有3×3矩阵构成的空间，空间内的矩阵可以相加，也可以数乘，其结果仍然是3×3矩阵。虽然可以把它们中的两个相乘，但是没人会那么做，因为乘法与向量空间没有关系。
看起来我们需要随时注意乘法的概念，线性代数中的乘法有别于中学时代标量间的乘法。向量与一个标量相乘，被明确定义为
；两个相同维度的向量间存在点积和叉积，其写法上都与九九乘法表中的乘法类似，但是没有定义两个向量的乘法。虽然矩阵间定义了乘法，但存在限制，只有满足“攘外必先安内”原则的两个矩阵才能相乘。线性代数中的概念众多，学了线性代数后，再也不能愉快地做乘法了。
“攘外必先安内”：AB两个矩阵相乘，必须满足A的列数等于B的行数：
如果AB能够相乘，必须满足n = p，看起来n和p正好夹在m和q中间，m和q在外围：
相乘的结果当然是“共同御敌，一致对外”。
以3×3矩阵构成的空间M为例，M一共有9个元素，M的维度是9。M的标准基是：
矩阵的子空间
矩阵的子空间也是对向量子空间的扩展，矩阵子空间需要满足数乘和加法仍处于同一集合内。
矩阵空间M也有一些特殊的子空间，比如将M空间内的两个对称矩阵相加或数乘，仍然得到对称矩阵；上三角矩阵子空间，将空间内的两个矩阵相加或数乘，仍然得到上三角矩阵。仍然以3×3矩阵构成的空间M为例，看看M中的几个子空间。
对称矩阵子空间
设M中的对称子空间是S，6个对称矩阵构成了S的标准基：
S维度是6，表示为：
上三角矩阵子空间
设上三角矩阵子空间是U，U的维度也是6，它的维度表示为：
很明显，上三角矩阵的基是：
对角矩阵子空间
如果一个矩阵既是对称矩阵又是上三角矩阵，则这个矩阵称为对角矩阵(diagonal matrix)。对称矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为
。
主对角线上的元素可以为0或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵就是单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且这些运算的结果仍为对角阵。
对角矩阵A：
数量矩阵，对称矩阵的对角元线上的元素都相等：
单位矩阵，对称矩阵的对角元线上的元素都为1：
内的对称矩阵和上三角矩阵的交集是一个对角矩阵，所有对角矩阵也构成一个子空间其维度是3：
很明显，
的标准基是：
性质
对角阵的一些性质：
1. 零矩阵是对角矩阵（这是废话）。
2. 若A、B两个矩阵为对角矩阵，则A+B也是对角矩阵（只有当两个矩阵的行数和列数相等时，这两个矩阵才能相加，运算规则是用对应位置上的数据相加）。
3.数乘KA也是对角矩阵。
解释一下，所谓数乘，是指数K与矩阵A的乘积，记作KA，规定数乘的结果为使用K乘以矩阵的每个元素后所得的矩阵。
4.A、B都是对角矩阵，则AB也是对角矩阵。
5.若A为对角矩阵，则A的转置矩阵与A矩阵相等。
单位矩阵的最重要的性质是：
任意一个矩阵A与单位矩阵相乘，结果还是A。（前提是矩阵A要能满足与该单位矩阵相乘的条件）。此外，针对方阵的阶乘，还有一个与单位矩阵相关的规定，那就是：某方阵A的0次方，规定为与该方阵同阶的单位矩阵。
数量矩阵也有几个常用性质：
A=aI
公式中A表示数量矩阵，a表示数量矩阵的主对角线上的数,I表示上面所提到的单位矩阵。这条性质显而易见，用数字a与单位矩阵I相乘的数乘结果当然就是数量矩阵了。若A为数量矩阵，则与另一个矩阵B相乘的结果为aB。（无论是A乘以B，还是B乘以A）。
S+U矩阵子空
对于
，它或者在对称矩阵子空间S中，或者在上三角矩阵子空间U中，或者在对角矩阵子空间S∩U中。我们对S∪U不感兴趣，主要是的原因是S∪U并不能构成子空间，可以随便举个例子：
可以看到，
是个没什么特点的矩阵，它不属于S∪U，所以不符合子空间的加法封闭性。
现在，我们将S∪U扩大一点，变成S + U，也就是不单独地取S和U中的矩阵，而是取S中的任一矩阵和U中的任一矩阵，将二者相加：
其结果是整个
空间，即：
当然，
的维数也是 的维数：
矩阵子空间维数的关系
现在将上面4个矩阵子空间的维数放在一起：
可以看出：
秩1矩阵
秩1矩阵就是秩为1的矩阵，它的行空间和列空间的维度都是1：
更进一步，秩1矩阵可以表示为一列乘以一行的形式：
我们之所以对秩1矩阵感兴趣，是因为可以通过秩1矩阵搭建出任意矩阵，比如秩为4的矩阵，可以通过4个秩1矩阵搭建而成。
如果M是所有5×10矩阵的矩阵空间，那么一个由秩4矩阵组成的子集是否是一个子空间？
当然不是，因为两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵的秩之和。设P是M中两个任意秩4矩阵之和，P的秩可能是5，不在秩4矩阵集合内。虽然P是两个秩4矩阵之和，rank(P) ≤4 + 4 = 8，但由于P仍然在
内，而 中的矩阵的秩不会大于5，所以rank(P)的最大值是5。同理，M中由秩1矩阵组成的子集也不是子空间。
秩1矩阵与零空间的关系
假设有一个向量x，x中的分量之和为0：
很明显x满足零空间的条件，它是某个矩阵的零空间，这个矩阵是什么呢？也就是说对于Ax = 0来说，A是什么？x的维数又是什么？
先回答最后一个，根据条件S可以确定，x的一个分量可以由另外三个分量表示：
可见x的主变量有1个，自由变量有3个，维数是3。
再看零空间所属的矩阵，可以很容易判断：
A是秩1矩阵，根据《线性代数14——行空间和左零空间》空间和维数的关系：
的零空间是位于 下的 n – r维空间，A的零空间的维数3，x是3维的。
A的列空间和行空间都是1维的：
A的左零空间是零向量。
