几何2 - 曲线和曲面（Geometry 2 - Curves and Surface）

上一节提到，要表现一些复杂的几何模型有两种方法：

隐式几何显式几何

本节课讲的为显式几何

显式几何（Explicit Representations）

显式几何有两种方式：

一种是像三角形直接定义出来另一种是通过参数映射的方法定义表面

显式几何有许多的方法，如：

下面介绍几种方法：

点云（Point Cloud）

点云是最简单的一种方法，点云是将每一个点就当作一个点，并不像三角形那样把点链接起来，而是只是单纯的用点来形成面。当点十分密集时，每个点和点之间都是相邻并且十分接近，密集的点就能形成一个面。如下所示：

上面部分的点十分密集，形成了一个铜像，而下面的点比较稀疏，则无法构成一个面，只能看见一些离散的点。

这种方法有以下特点：

能够十分简单的表示任何几何形体对于大量数据的点集合很有用通常被转换为多边形的面在采样不足的区域很难绘制出图形，如上图下面

多边形面（Polygon Mesh）

多边形面是目前应用最广泛的一种方式。具有以下特点：

存储顶点和面的信息，面通常是三角形或者矩形更容易处理和采样这种方法使用的数据结构更加复杂

下图的几何体就是用多边形面所组成的。

存储几何体的文件 .obj文件

一般用.obj文件来存储一个模型，如果使用blender建模然后导出就可以得到一个.obj文件，文件的内容如下：

v代表几何体的每个顶点的位置信息，vt代表纹理坐标，vn代表顶点对应的法向量，f代表将三角形连接成顶点的索引顺序。

如第一行f表示，将第5个，第1个和第4个顶点连接成三角形。f代表的是：顶点号/纹理号/法向量号。

曲线（Curves）

贝塞尔曲线（Bézier Curves）

贝塞尔曲线定义一个曲线的方法，如下图：

p0,p1,p2,p3为控制点，其中p0,p3为起点和终点。定义一个曲线的条件：

知道起点p0和终点p3起点和终点的切线方向分别在p0p1和p2p3上

有以上两个条件，就可以定义一个控制方向。即控制点+属性就可以定义一条曲线。

注：曲线并不一定经过控制点，但一定经过起点和终点。

画一条贝塞尔曲线

先考虑只有三个顶点两条线段的情况下如何画一条曲线：

b0,b2为起点和终点，b0,b1,b2为控制点。

贝塞尔画曲线的方法就是：假设有一个时间t属于[0,1]，只要找出所有 在任意时间t上所对应的曲线的点，就可以画出这条曲线。

也就是说，给一个时间t属于[0,1]，找出曲线上这个点在哪。如下图所示：

注：上图bo到中间点b(01)为（1-t）,而b(01)到b1为t，图画反了。

要在两条线段上都找到这样一个中点：

然后在两个中点的连线上再找到一个时间t对应的中点。

得到的b(02)就是曲线上的点。只要我们枚举所有的时间t所对应的点，就能够画出这条曲线。

如果有四个点三条线段时：

如上所示，现在三条线段上各找一个中点，然后将三个中点连接成两条线段，然后再在两条线段上找两个中点，然后再连接成一个线段，再找到这一个线段上的中点即可。简化一下：

四个点，三条线 - > 三个点，两条线 - > 两个点，一条线 -> 一个点，这个点就是曲线上的点。

贝塞尔曲线用代数表示

先把b(01)和b(11)用控制点表示出来，然后再对b(02)用上面获得的两个中点表示。将b(01)和b(11)带入b(02)，就能够得到最下面的那个式子。可以看到，b(02)是所有控制点的一个线性组合所表示的，是否可以认为，曲线上的点都是所有控制点的一个线性组合？

实际上是这样，所有曲线上的点都是所有控制点的一个线性组合，公式如下：

上图表示当有n+1个控制点时，曲线上t所对应的点可以由所有的控制点的线性组合表示，其中：

可以看出，其实

为[t + (1-t)]^n的二项展开的一个通项。

一个例子：

贝塞尔曲线的属性

第一个和最后一个控制点为起始点，一定要经过，其他控制点不一定经过

- 最开始的两个点和最后的两个点决定起点和终点的切线方向，比如有4个点b0,b1,b2,b3，切线如下

其中3并不是固定的，当控制点的数量改变时，3可能变为其他的系数

先用控制点画的贝塞尔曲线，和经过仿射变换(affine transformation)的控制点画出来的曲线是一样的。注：旋转变换+缩放变换 = 线性变换， 线性变换 + 平移变换 = 仿射变换。

凸包性质(Convex hull property)：给出一系列的控制点画曲线，画出来的曲线一定在一个能够包围所有控制点的范围内。如下图所示：

其中蓝色的框就是凸包，这些控制点画出来的曲线一定在这个蓝色框内。更通俗的理解就是说：比如在一个木板上，钉了许多钉子，这些黑点就是一个一个钉子，然后用一个环形的橡皮筋来包围住这些所有的钉子，这个橡皮筋一定会被最外围的一圈钉子支撑形成一个环，这个环就是凸包。

分段贝塞尔曲线（Piecewise Bézier Curves）

先看下面一个例子：

上图中，用十个控制点来画贝塞尔曲线，可以看到划出了一条曲线。但是这存在了一些问题，在一些偏移较大的控制点的位置，其画出来的曲线偏移十分的小，比如在靠近上面的一段曲线甚至接近一条直线，但是可以看到控制点歪曲的方向非常大，这就是为题所在。

当控制点十分多的时候再用贝塞尔曲线，得到的曲线就难以达到我们想要的标准，于是我们想：为什么要用许多的控制点定义一个贝塞尔曲线，而不是用几个控制点定义一段贝塞尔曲线，最终把这些曲线连接起来？于是，分段贝塞尔曲线就诞生了。

分段贝塞尔曲线通常用四个控制点定义一段曲线，然后将这些曲线最终连起来。如下：

以最左面的一段曲线举例，四个控制点定义了这一段曲线：

图中四个蓝色的点为控制点，然后后面的依次类推，每次用四个控制点画一段贝塞尔曲线，最后连起来就能够得到一条我们希望的曲线。

分段贝塞尔曲线的连续性

分段贝塞尔的连续性有两种，分别是:

C0连续，即上一段曲线的终点是下一段曲线的起点，仅仅满足这种物理上的连续，并不要求在连续点的切线方向不变（或者说可导），能够满足下面这种情况都可以。an为上一段曲线的终点，b0为下一段曲线的起点。

C1连续，除了满足C0连续的条件外，还要满足在连接点的两端切线的方向相同，切长度相等。如下面红线所示，中间点为终点，左右两个点分别为两段曲线的控制点。

​ C1连续要满足的代数条件：

样条曲线（Spline）

定义：一个连续的曲线由一系列的控制点控制，并且在曲线上的任意一点都满足连续性。

解决问题：在之前10个控制点的例子中，对于这种控制点很多的曲线，当我们想修改其中的一小部分的时候，如果用贝塞尔曲线，当我们想修改一个控制点，就会导致整个曲线发生改变，这个是我们不希望看到的。我们希望改变一个控制点只会改变局部的曲线，希望曲线能够具有这种局部性。样条就是解决这个问题。分段贝塞尔也可以解决这个问题，但是样条能够控制更加方便，不需要分段。

曲面（surfaces）

贝塞尔曲面（Bézier Surfaces）

贝塞尔的曲面构建如下图所示：

有一个时间t属于[0,1]，根据控制点和时间t画出纵向的曲线。有一个时间v属于[0,1]，在对应的时间v上找出四条曲线上对应的四个点，将这四个点作为控制点就可以画出横向的曲线。