垂直问题的转化关系示意图
graph LR A((线线垂直))--判定=> <=性质-->B{线面垂直} B--判定=><=性质-->C((面面垂直)) C--判定=><=性质-->A
\[线\perp线 \xlongequal[\Leftarrow 性质定理]{判定定理\Rightarrow}线\perp面\xlongequal[\Leftarrow 性质定理]{判定定理\Rightarrow}面\perp 面\]
\[线\perp 线\xlongequal[\Leftarrow 性质定理]{判定定理\Rightarrow}面\perp 面\]
前言
常识储备
识记如图所示的是正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用结论：
(1)体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如图1)
证明：令体对角线\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交点是\(N\)，由正四面体\(B'-ACD'\)可知，
\(N\)是三角形底面的中心，连接\(OD'\)，则易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，
同理\(AD'\perp B'D\)，故体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。
(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如图1，利用等体积法)
(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如图2)
(4)平面\(ACD'\)与平面\(A'BC'\)的间距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即体对角线的\(\cfrac{1}{3}\)(如图2)
(5)三棱锥\(B'-ACD'\)是正四面体。三棱锥\(D-ACD'\)是正三棱锥。
(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。
(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。
(8)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{2}\)；
正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{3}\)；
(9)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}:1:2\)；
正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}:1:3\)；
判定难点
主从关系的转换，比如证明\(A_1F\perp DE\)不容易时，我们转而证明\(DE\perp A_1F\)可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
区分清楚判定定理和性质定理。
垂直关系的相互转化
典例剖析
线线垂直
例10【届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(O\)是四边形\(ABCD\)的中心，关于直线\(A_1O\)，下列说法正确的是【】
$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1O\perp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1O\perp平面AB_1D_1$
分析：由于题目中给定点\(O\)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\(E\)，如图所示，
当连结\(CE\)时，我们就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以说明；
由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，则可知\(A_1O//CE\)，
又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故选\(C\)，
此时，我们也能轻松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三个选项是错误的。
线面垂直
例3【凤翔中学第二次月考理科第19题】如图，\(\Delta ABC\)和\(\Delta BCD\)所在平面互相垂直，且\(AB=\)\(BC=BD\)\(=2\)，\(\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}\)，\(E、F、G\)分别是\(AC、DC、AD\)的中点，
(1)求证：\(EF\perp 平面BCG\)
分析提示：只要证明\(AD\perp 平面BCG\)
(2)求三棱锥\(D-BCG\)的体积。
分析：在平面\(ABC\)内，作\(AO\perp BC\)，交\(CB\)延长线于\(O\)，由平面\(ABC\perp BCD\)，可知\(AO\perp 平面BDC\)，
由\(G\)到平面\(BCD\)距离\(h\)是\(AO\)长度的一半，在\(\Delta AOB\)中，\(AO=AB\cdot sin60^{\circ}=\sqrt{3}\)，
故\(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta DBC}\cdot h\)\(=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\)\(\cdot sin120^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\cfrac{1}{2}\)。
面面垂直
例1【江苏高考卷】如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，点\(F\)在侧棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。
求证：(1)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\).
分析：现在需要\(\Leftarrow\)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)
\(\Leftarrow\)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)内的某直线\(?\)
某条直线可能是三角形的边界线，三角形中线，高线，中位线，或者需要我们做出的某条辅助直线。
证明：因为\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，则有\(DE//AC//A_1C_1\)，
又因为直线\(A_1C_1\subsetneqq\)平面\(A_1C_1F\)，
\(DE\not\subseteq\)平面\(A_1C_1F\)，则直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)。
求证(2)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\).
分析：\(\Leftarrow\)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\)
\(\Leftarrow\)一个面内的某条直线\(\perp\)另一个面内的两条相交直线。
此时往往需要结合图形及已知条件来确定，比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线\(A_1F\)，
那么此时就需要在另一个平面\(B_1DE\)内找两条相交直线，且都要能证明和直线\(A_1F\)，
如果能找到，则这样的思路就基本固定下来了，
思路一大致为：\(A_1F\perp\begin{cases}B_1D\\ DE\end{cases}\)，
从而转证\(DE\perp A_1F\)，从而转证\(A_1C_1\perp A_1F\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；
思路二大致为：\(B_1D\perp\begin{cases}A_1F\\ A_1C_1\end{cases}\)，
从而转证\(A_1C_1\perp B_1D\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(B_1D_1\)的平面\(ABB_1A_1\)，
从而转证\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；
证明：你能自主写出证明过程吗？
【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要证明\(A_1F\perp DE\)时，包含了视角上的转换，如证明\(A_1F\perp DE\)不容易时，我们转而证明\(DE\perp A_1F\)，即转证\(A_1C_1\perp A_1F\)，从而接下来就可以考虑证明线面垂直，从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，
例2【衡水金卷】如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(AB\perp PA\)，\(AB//CD\)，且\(PB=\)\(BC=BD\)\(=\sqrt{6}\)，\(CD=2AB=2\sqrt{2}\)，\(\angle PAD=120^{\circ}\)，\(E\)和\(F\)分别是棱\(CD\)和\(PC\)的中点。
(1).求证：平面\(BEF\perp\)平面\(PCD\).
证明：因为\(E\)为\(CD\)的中点，\(CD=2AB\)，则\(AB=DE\)，又因为\(AB//CD\)，所以四边形\(ABED\)为平行四边形。
又因为\(BC=BD\)，\(E\)为\(CD\)的中点，故\(BE\perp CD\)，则四边形\(ABED\)为矩形，则\(AB\perp AD\)。
又因为\(AB\perp PA\)，\(PA\cap AD=A\)，所以\(AB\perp 平面PAD\)。
又因为\(AB//CE\)，所以\(CD\perp 平面PAD\)，所以\(CD\perp PD\)。
又因为\(EF//PD\)，所以\(CD\perp EF\)。又因为\(CD\perp BE\)，所以\(CD\perp 平面BEF\)。所以平面\(PCD\perp 平面BEF\)。
(2).求直线\(PD\)与平面\(PBC\)所成角的正弦值。
待补充。
