C语言用6种方法求定积分
描述问题
利用①左矩形公式,②中矩形公式,③右矩形公式 ,④梯形公式,⑤simpson公式,⑥Gauss积分公式求解定积分。
分析问题
2.1定积分
21.1定积分的定义
定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。即所包围的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形。
(图1)
设一元函数,在区间内有定义。将区间分成个小区间。设,取区间中曲线上任意一点记做,和式
若记λ为这些小区间中的最长者。当时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数 在区间上的定积分。
记:其中称为积分下限,为积分上限,为被积函数, 为被积式,∫ 为积分号。
之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个而不是一个函数。x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a,x=bx轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号。如图
2.2言实现定积分计算的算法
22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算
假设被积函数为,积分区间为,把区间等分成个小区间,各个区间的长度为,即,称之为“步长”。根据定积分的定义及几何意义,定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积等分,各子区间的面积近似等于梯形的面积,面积的计算运用梯形公式求解,再累加各区间的面积,所得的和近似等于被积函数的积分值,越大,所得结果越精确。以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思想。
复合梯形公式:
[2]
具体算法如下:
算法一
1:输入积分区间的端点值和;
2:输入区间的等分个数(要求尽可能大,以保证程序运行结果有较高的精确度);
3:计算步长;
4:对累加和赋初值;
5:计算累加和
6:算出积分值;
7:输出积分近似值,完毕。
1.2.2利用Smpson公式实现定积分的计算
假设被积函数为,积分区间为,把区间等分成个小区间,各个区间的长度为。在复合梯形公式的基础上,构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。
具体算法如下:
算法二
1:输入积分上限和下限;
2:输入区间的等分个数(要求尽可能大,以保证程序运行结果有较高的精确度);
3:利用辛甫生公式:[2],实现对定积分的求解(其中,均为梯形公式计算所得的结果,由此可见辛甫生公式是以梯形公式为基础的);
4:算出积分值;
5:输出积分近似值,完毕。
1.2.3利用Guass公式实现定积分计算
Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1,而且是最高的。通常运用的是-1---+1的积分节点和积分系数,其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。和下限;
2:利用Guass公式,求定积分
4:算出积分值;
5:输出积分近似值,完毕。
程序的编写
3.1程序一(左矩形公式)
3.1.1源程序
#include
#include
void main()
{double f(double x);
/*f(x)为函数举例,即被积函数*/
int i,n;
/*n为区间等分的个数,应尽可能大*/
double a,b,h,;
/*a为积分下限,b为积分上限,h为步长*/
printf(" a:\n");
scanf("%lf",&a);
printf("积分上限 b:\n");
scanf("%lf",&b);
printf("区间等分个数 n :\n");
scanf("%d",&n);
h=(b-a)/n; /*步长的计算*/for(i=1;i
{s=s+f(a+i*h)*h;
}
printf("函数 f(x) 的积分值为 s=%10.6f\n",s);
}
/*以下为被积函数的定义,即函数举例*/
double f(double x)
{double y;
y=;
return (y);}
3.1.2程序一的编译运行
被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况
先编译,再运行,屏幕显示及操作如下:
输入0+回车
输入2+回车
输入1000+回车
3.2程序二(中矩形公式)
3.2.1源程序
#include
#include
void main()
{double f(double x);
/*f(x)为函数举例,即被积函数*/
int i,n;
/*n为区间等分的个数,应尽可能大*/
double a,b,h,;
/*a为积分下限,b为积分上限,h为步长*/
printf(" a:\n");
scanf("%lf",&a);
printf("积分上限 b:\n");
scanf