高斯消元法—求解线性方程组与实例分析应用
1012208022 魏晓兵
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高斯消元法——求解线性方程组与实例分析应用
高斯(Gauss)消元法是求解线性代数方程组常见方法。基本思想是：通过一系列的加减
消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解
出x向量。
一、 线性方程组形式
常记为矩阵形式
其中
二、高斯消元法
现举例说明如下：
1012208022 魏晓兵
(一)消元过程
经消元后，得到如下三角代数方程组：
(二)回代过程
(3)
由(3) 得 x=1,
3
(2)
将x 代入(2) 得x=-2,
3 2
(1)
将x 、x 代入(1) 得x=1
2 3 2
所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T
(三)、用矩阵演示进行消元过程
第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式
第二步：然后对矩阵进行初等行变换
初等行变换包含如下操作
(1) 将某行同乘或同除一个非零实数
(2) 将某行加入到另一行
(3) 将任意两行互换
第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形
式如下：
1012208022 魏晓兵
示例：
(四)高斯消元的公式
综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为
1．消元
(1) 令
aij(1) = aij , (i,j=1,2,3,…,n)
b (1) =b , (i=1,2,3,…,n)
i i
(2) 对k=1 到n-1，若akk(k)≠0，进行
lik = aik (k) / akk(k) , (i=k+1,k+2,…,n)
aij(k+1) = aij(k) - lik * akj(k), (i,j= k+1,k+2,…,n)
bi(k+1) = bi(k) - lik * bk(k), (i= k+1,k+2,…,n)
2．回代
若ann(n) ≠ 0
xn = bn(n) / ann(n)
x = (b (i) – sgm(a (i) * x )/- a (i) ,(i = n-1,n-2,…,1),( j = i+1,i+2,…,n )
i i ij j ii
(五)高斯消元法的条件
消元过程要求aii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求ann(n) ≠0,但就方程组Ax=b
讲，aii(i) 是否等于0 时无法事先看出来的。
注意A 的顺序主子式D (i=1,2,…,n),在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变
i
换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1 步(aii(i) ≠0,i
这时计算的A(k)顺序主子式:
D = a (1)
