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恒等式证明
知识定位
代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．
两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．
把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．
证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．
知识梳理
知识梳理1：由繁到简和相向趋进
恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．
知识梳理2：比较法
比较法利用的是：
这也是证明恒等式的重要思路之一。
知识梳理3：分析法与综合法
根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．
知识梳理4：其他解题方法及技巧
除了上述方法，设k、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力．
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．
【答案】因为x+y+z=xyz，所以
左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)
=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2
=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=右边．
【解析】将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．
【知识点】恒等式证明
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【题目】已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且
【答案】
令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则
又因为
所以
【解析】令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则
本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．
【难度系数】4
【题目】求证：
【答案】因为
【解析】用比差法证明左-右=0．本例中，
这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．
【题目】已知
【答案】左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2
=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2
=(a2-b2-c2)2-4b2c2
=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)
=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]
=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．
【解析】用比差法，注意利用a+b+c=0的条件，证明过程中主要是进行因式分解。
【题目】设全不为零．证明：
(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
同理
所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．
【解析】本例采用的是比商法
【答案】要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，
只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，
只要证 ab=ac+bc，
只要证 c(a+b)=ab，
显然成立。
【解析】利用分析法，执果索因，从结论逆推证明，条件根结论能够很好对接，问题很容易得到解决。
【题目】已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．
【答案】由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以
a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，
所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
a＝b，c=d．
ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，
所以a＝c．故a=b＝c=d成立．
【解析】通过分组分解，构造完全平方解决问题
【答案】由已知
【解析】本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．
【题目】证明：
(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3
=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．
【答案】令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③
则要证的等式变为
a3+b3+c3=3abc．
联想到乘法公式：
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有
a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，
所以 a3+b3+c3-3abc=0，
【解析】此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令
y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③
则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．
【题目】设x，y，z为互不相等的非零实数，且
求证：x2y2z2=1．
【答案】由已知有
×②×③得x2y2z2=1．【解析】
本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的
所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．
【题目】已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．
(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3
=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．
【解析】本题需先根据三数完全平方公式进行展开各式,然后消去同类项,再进行移项,最后证出等于零即可求出结果
【适用场合】课后一个月练习
【题目】已知<Object: word/embeddings/oleObject11.bin> ，求证：<Object: word/embeddings/oleObject12.bin> .
【适用场合】随堂课后练习
【题目】证明：<Object: word/embeddings/oleObject13.bin>。
【解析】从等式的左边出发,先通分,然后将分子乘开后从新合并,继而拆项后组合即可得出右边的等式的形式.
【题目】已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．
【适用场合】课后两周练习
【题目】已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：
(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．
【适用场合】阶段测验
