格林定理的解释和说明有很多，今天我们从一种很少见的方式出发，来得到格林定理
我们从微积分基本定理出发，我们可以把它写成这种形式，如下
两个变量中相应的表达式由两个变量函数的偏导数在矩形上的二重积分组成。具体来说，考虑这个矩形
令q(x, y)∈包含矩形r的域中：我们得到
我们首先沿着每条水平线y = t积分，得到关于t的函数
对于一个固定的t值，qx(x, t)的偏导数可化为函数f(x) = q(x, t)关于x的普通导数，由式(25.1)可知，
我们得到
以完全相同的方式，p/y，其中p(x, y)∈R,我们同样会得到：
通过观察（25.3）和（25.4）的右侧实际上是矩形R边界的一部分上的线积分，R的边界可以被描述为分段光滑曲线C组成的四个线段(图25.5)
注意这些线段是有方向的，这样在连续环绕了一圈，它们就形成了闭合曲线C，从(a, C)处开始，到(a, C)处结束，现在(25.3)的右边由两个∫q dy的线积分组成，它们是R的两个垂直边，而且方向相反
因为在水平侧C1和C3上有dy /dt=0
由此可见
以同样的方式，我们有
观察C1和C3的方向，我们可以把(25.4)写成这种形式
综合上述的结论，得到矩形形式下的格林公式
由此得到
上述的形式正好可以写成如下形式
