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解不等式和不等式组是七年级数学的重要内容,涉及的知识点比较多,需要具备严密的数学思维才能作出正确解答,为了帮助大家更好地理解不等式的相关知识点,本文就例题详细讲解这类题型的解题思路,希望能给大家带来帮助。
例题1
求不等式(|x|+x)(2-x)<0的解集
1、根据有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,则(|x|+x)与(2-x)为异号,需要分两种情况进行讨论:
当|x|+x>0且2-x<0时
由结论:|x|+x>0,则|x|>-x,根据绝对值的性质:|x|=x(x≥0时)或-x(x<0时),可解得:x>0;
由结论:2-x<0,则x>2;
根据结论:x>0, x>2,可解得:x>2。
当|x|+x<0且2-x>0时
由结论:|x|+x<0,则|x|<-x,根据绝对值的性质:|x|≥0,则-x>0,即x<0;
由结论:x<0,根据绝对值的性质:|x|= -x(x<0时),与|x|<-x相矛盾,所以此解不符合条件,舍去。
所以,此不等式的解集为:x>2。
例题2
如果关于x的不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合不等式组的整数(m,n)对共有多少对?
1、求解不等式组的第一式:7x-m≥0,可解得:x≥m/7;
2、求解不等式组的第二式:6x-n<0,可解得:x<n/6;
3、根据题目中的条件:不等式组的整数解仅为1,2,3,则0<m/7≤1,3<n/6≤4,即0<m≤7,18<n≤24;
注意:零界点需要单独考虑是否要包含在范围里面,当m/7=0时,x≥0,则整数0也是不等式组的解,不符合条件,舍去;当m/7=1时,x≥1,则整数1是不等式组的解,符合条件,保留;当n/6=3时,x<3,则整数3不是不等式组的解,不符合条件,舍去;当n/6=4时,x<4,则整数4不是不等式组的解,符合条件,保留。
根据结论:0<m≤7,18<n≤24,则符合条件的整数m为1、2、3、4、5、6、7,共计7个,符合条件的整数n为19、20、21、22、23、24,共计6个,则适合不等式组的整数(m,n)对共有6*7=42对。
例题3
已知非负数x,y,z满足,设,求的最大值与最小值
1、设(x-1)/2=(2-y)/3=(z-3)/4=k,则x=2k+1,y=2-3k,z=3+4k。
2、根据题目中的条件:w=3x+4y+5z,则w=3(2k+1)+4(2-3k)+5(3+4k)=14k+26。
3、根据题目中的条件x,y,z为非负数,则2k+1≥0且2-3k≥0且3+4k≥0,可解得:k≥-1/2且k≤2/3且k≥-3/4,即-1/2≤k≤2/3。
4、根据结论:w=14k+26,-1/2≤k≤2/3,则当k=-1/2时,w取到最小值19,当k=2/3时,w取到最大值106/3。
例题4
若不等式组的整数解只有x = -2,求实数k的取值范围。
1、求解不等式组的第一式:x-x-2>0,则(x-2)(x+1)>0,可解得:x>2或x<-1,根据题目中的条件:不等式组的整数解只有x = -2,则在x<-1的范围内。
2、求解不等式组的第二式:2x+(5+2x)+5k<0,则(x+k)(2x+5)<0,(x+k)与(2x+5)为异号,需要分两种情况进行讨论:
当x+k>0且2x+5<0时
不等式组第二式的解为:-k<x<-5/2,根据题目中的条件:不等式组的整数解只有x = -2,不在-k<x<-5/2范围内,则此解不符合条件,舍去。
当x+k<0且2x+5>0时
不等式组第二式的解为:-5/2<x<-k,根据题目中的条件:不等式组的整数解只有x = -2,则-5/2<x<-k 与x<-1有交集为整数解-2,-5/2<x<-k 与x>2没有交集,即-2<-k≤3,可解得:-3≤k<2。
注意:零界点需要单独考虑是否要包含在范围里面,当k=-3时,不等式组第二式的解为:-5/2<x<3,与不等式组第一式的交集为:-5/2<x<-1,有整数解-2,符合条件,保留;当k=2时,不等式组第二式的解为:-5/2<x<-2,与不等式组第一式的交集为:-5/2<x<-2,没有整数解-2,不符合条件,舍去。
总之,跟不等式相关的知识点很多,必须认真审题、仔细分析,采用合理的解题思路,才能在不等式的考点上不失分,为数学中考考试取得高分助力。