二次函数和圆有联系吗?
通常情况,中考数学有两道压轴题(部分地区可能是1道,也可能是多道),一道是几何压轴题,另一道是代数压轴题。不可否认,也可能两道都是几何与代数的综合题。就像是应了那句出题老师的老话:你尽管复习,考到了算我输!
调侃归调侃,初三的考生朋友们还是要及时复习的。因为你复习的真的会考!比如二次函数、圆,二次函数与圆的综合题。
二次函数与圆的综合题型
例题、如图,二次函数y=ax+bx+c的图像交x轴于A(-1,0),B(2,0),交y轴于C(0,-2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图 像上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为4/5√5(5分之4又根号5) ,求点M的坐标.
【解析、分析】
(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标,设出二次函数交点式解析式y=a(x+1)(x﹣2),然后把点C的坐标代入计算求出a的值,即可得到二次函数解析式;
(2)设OP=x,然后表示出PC、PA的长度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可;
(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分:
(i)点H在点C下方时,利用同位角相等,两直线平行判定CM∥x轴,从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同,是﹣2,代入抛物线解析式计算即可;
(ii)点H在点C上方时,根据(2)的结论,点M为直线PC与抛物线的另一交点,求出直线PC的解析式,与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标;
②在x轴上取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,可以证明△AED和△AOC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度,然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再作直线DM∥AC,然后求出直线DM的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标.
【参考答案】
【考点】两一次函数图像相交或平行问题,勾股定理,切线的性质,相似三角形的性质,二次函数与一次函数的综合应用
定角必有隐圆例题
例、在平面直角坐标系中,抛物线y=x+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧.
(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛物线y=x+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时的k值;若不存在,请说明理由.
【解析】【分析】
方法一:(1)当k=1时,联立抛物线与直线的解析式,解方程求得点A、B的坐标;
(2)如答图2,作辅助线,求出△ABP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标;
(3)“存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°”的含义是,以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,由圆周角定理可知,此时∠OQC=90°且点Q为唯一.以此为基础,构造相似三角形,利用比例式列出方程,求得k的值.需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点,此时亦存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.
方法二:(1)联立直线与抛物线方程求出点A,B坐标.(2)利用面积公式求出P点坐标.(3)列出定点O坐标,用参数表示C,Q点坐标,利用黄金法则二求出k的值.
【答案】
【考点】勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,二次函数与一次函数的综合应用,二次函数的实际应用-动态几何问题。