导函数中结合零点或极值点求参数取值范围题是高考命题的重点与热点之一,主要有以下命题角度:
(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值;
(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.
题型以解答题为主,选择、填空题中也有涉及,其中解答题属于高考中的压轴题之一,选择题、填空题属于中档题,分值5~12分.
例1[全国卷Ⅰ,21,12分][理]
思路分析(1)解题首先要考虑函数的定义域.求出函数的导函数,根据导函数中二次函数的一次项含参,主要通过判别式进行分类,根据字母的取值范围进行讨论;
(2)导函数中的二次函数的韦达定理可知,两极值点之积为定值,故可先将二元变量转化为一元变量,进而对含有一个未知数的不等式,然后构造函数结合单调性加以证明.明构造函数的单调性要注意隐含条件的挖掘,由x1x2=1,可得到构造函数自变量的取值范围(0
例2[全国卷Ⅱ,21,12分][理]
思路分析(1)先构造函数g(x)=f(x)－1,再求导函数,根据导函数不大于零得到函数单调递减,最后根据单调性解不等式.
(2)研究f(x)零点,等价研究函数h(x)的零点,选求h(x)的导数.解题过程中有两个讨论点,一个是a与0,即a>0和a≤0;另一个是x与2.当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点.当a>0时,h(x)先减后增,得到函数只有一个零点的必要条件,再利用零点存定理确定条件的充分性,可得到满足题意的a的值.
总结导函数中零点或极值点求参题的解题过程中,利用函数的零点的情况求参数值或取值范围可通过下面步骤进行:
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
