一、选择题（本题8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图案中轴对称图形是( )
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B 、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对 称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各条件中，不能作出惟一三角形的是( )
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．
【分析】考虑是否符合三角形全等的判定即可．
【解答】解：A、B、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出三角形；
C、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才成立．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判断方法，在已知两边的情况下，对应的两边必须夹角，才能判断三角形全等．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，则其直角边BC的长为( )
A．6cm B．100cm C．15cm D．10cm
【考点】勾股定理．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出直角边BC的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，
由勾股定理得：BC= = =10（cm）；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，已知直角三角形的斜边长和一条直角边长即可求出另一直角边长．
4．△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若添加条件∠B=∠C，则可用( )
A．SSS B．AAS C．HL D．不确定
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，再加上条件∠B=∠C，公共边AD=AD可利用AAS进行判定．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形 的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．
6．如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是( )
A．图中共有三个等腰三角形 B．点D在AB的垂直平分线上
C．AC+CD=AB D．BD=2CD
【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC和∠BAD，根据等腰三角形的判定即可判断A；根据AD=BD即可判断B；在AB上截取AE=AC，连接DE，证△EAD≌△CAD，推出DE=DC，∠C=∠AED=72°，求出CD=DE=BE，即可判断C、D．
【解答】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，
∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB=36°，
即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，
∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；
B、∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；
C、在AB上截取AE=AC，连接DE，
在△EAD和△CAD中
∴△EAD≌△CAD，
∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，
∵∠B=36°，
∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，
∴DE=BE，
即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误 ；
D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，
∴BD＜2DC，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
二、解答题（共2小题，满分6分）
8．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC=26，BD=24，则线段MN长为5．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=5，根据等腰三角形的性质得到BN=4，根据勾股定理得到答案．
【解答】解：连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM= AC，DM= AC，
∴BM=DM=13，又N是BD的中点，
∴BN=DN= BD=12，
∴MN= =5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．给出以下五个结论：
（1）AE=CF；（2）∠APE=∠CPF；（3）三角形EPF是等腰直角三角形；（4）S四边形AEPF= S△ABC；（5）EF=AP，
其中正确的有4个．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）通过证明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，
（2）由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出结论；
（3）由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出结论；
（4）由S四边形AEPF=S△APE+S△APF．就可以得出S四边形AEPF=S△CPF+S△APF，就可以得出结论，
（5）由条件知AP= BC，当EF是△ABC的中位线时才有EF=AP，其他情况EF≠AP．
【解答】解：（1）∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF．故（1）正确．
∵AB=AC，∠BAC=90° ，
∴∠B=∠C=45°．
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=AP= BC．∠BAP=∠CAP=45°．
∴．∠BAP=∠C．
在△AEP和△CFP中
，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，S△AEP=S△CFP，故（2）正确．
∴△EPF是等腰直角三角形．故（3）正确．
∵S四边形AEPF=S△APE+S△APF．
∴S四边形AEPF=S△CPF+S△APF=S△APC= S△ABC．故（4）正确．
∵△ABC是等腰直角 三角形，P是BC的中点，
∴AP= BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP ，故（5）错误；
∴正确的共有4个．
故答案为4．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
三、操作与计算（本题共2小题，共12分）
11．两城镇A、B与两条公路ME、MF位置如图所示，现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME、MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留 作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
【解答】解：如图：点C即为所求作的点．
【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，掌握垂直平分线和角平分线的性质，以及尺规作图的方法是解决问题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，点P是△ABC三条边上的任意一点．若△ACP为等腰三角形，在图中作出所有符合条件的点P，要求：
①尺规作图，不写作法，保留痕迹；
②若符合条件的点P不只一个，请标注P1、P2…
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及结合等腰三角形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图，共4个点，分别为P1、P2、P3、P4．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
四、解答题（本题共6小题，共54分）
13．小强想知道广场上旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到旗台上还多0.8米，当他把绳子的下端在旗台上拉开2米后，发现下端刚好接触旗台面，你能帮他算出来这根旗杆的高吗？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出旗杆的高即可．
【解答】解：设这根旗杆的高为x米，则绳子的长为（x+0.2）米，
依题意，得方程 x2+22=（x+0.2）2
解得：x=9.9．
答：这根旗杆的高为9.9米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
14．已知：如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，∠B=∠E．
（1）求证：△ABC≌△CED；
（2）若∠B=25°，∠ACB=45°，求∠ADE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由AB∥CD就可以得出∠BAC=∠ECD，由ASA就可以得出△ABC≌△CED；
（2）根据△ABC≌△CED就可以得出∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CDE，AC=CD，求出∠ADC的值就可以得出∠ADE的值．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD．
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（ASA）；
（2）∵△ABC≌△CED，
∴∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CDE，AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠B=25°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=110°．∠EDC=45°，
∴∠CDA=35°．
∴∠ADE=10°．
答：∠ADE=10°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
15．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到CE=CF，∠F=∠CEB=90°，即可得到结论；
（2）由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F=∠CEA=90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AE，由△BCE≌△DCF，得到BE=DF，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）
=AE+BE+AE﹣DF=2AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解题的关键．
16．如图，AO是边长为2的等边△ABC的高，点 D是AO上的一个动点（点D不与点A、O重 合），以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连结BE并延长，交AC的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当△CEF为等腰三角形时，求△CEF的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）由△ABC和△CDE是等边三角形，用“SAS”证得△ACD≌△BCE；
（2）首先作CP⊥BF于点P，由∠CBE=30°，求得CP的长，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=60°，
同理可证CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒为直角三角形，且∠F=30°CF=CB=2，
又因为点D不与点A、O重合，
所以当△CEF为等腰三角形时，∠F只能为顶角，
如图，作CP⊥BF于点P，
由∠CBE=30°，
得CP= BC=1，
因为CF=EF=2，
所以S△CEF= ×2×1=1．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
17．课本等腰三角形的轴对称性一节，我们最后通过直角三角形纸片折叠发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
（1）小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中∠BAC为直角，AD为斜边BC上的中线，∠B=30°．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，再证△ABC≌△BAE，你认为小聪能否完成证明？能（只需要填“能”或“不能”）；
（2）小聪同学还想借助图②，任意的Rt△ABC为直角，AD为斜边BC上的中线，证明或*结论AD= BC，请你帮助小聪同学完成；
（3）如图③，在△ABC中AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中线AE的长度．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）如图①所示．由三角形内角和定理可求得∠ACB=60°．然后证明△ACD≌△EBD，从而得到∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC，∠ABE=90°然后再证明Rt△ABE≌Rt△BAC，于是得到BC=AE故此BC=2AD；
（2）如图②所示：延 长AD至点E使DE=AD，连结BE，先证明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，从而可证明∠BAC=∠ABE，然后证明△ABC≌△BAE，从而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD；
（3）根据勾股定理得：AC2=5，AB2=20，于是可得到AC2+AB2=BC2．于是得到△ABC是直角三角形，根据结论可知△ABC的中线AE的长度= BC= ．
【解答】解：（1）能．
理由：如图①所示．
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=60°．
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD．
∴∠EBD=∠ACD=60° ，BE=AC．
∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BAC．
∴BC=AE．
∴BC=2AD．
∴AD= BC．
（2）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连结BE．
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD．
∴∠C=∠EBD
∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．
在△ABC和△BAE中，
，
∴△ABC≌△BAE．
∴AE=BC．
∴BC=AE=2AD
∴ ．
（3）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根据勾股定理得：AC2= =5，AB2= =20．
∵AC2=5，AB2=20，BC2=（1+4）2=25，
∴AC2+AB2=BC2．
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的中线AE的长度= BC= ．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解题的关键．
18．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）根据图形就可以猜想出结论．
（2）要证BQ=AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA=90°，只要证出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可证出．
（3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．
【解答】解：（1）AB=AP；AB⊥AP；
（2）BQ=AP；BQ⊥AP．
证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，
∴∠EPF=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP．
②如图，延长BQ交AP于点M．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠1=∠2．
∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．
∴∠QMA=90°．
∴BQ⊥AP；
（3）成立．
证明：①如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．
∴BQ=AP．
②如图③，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQ C=∠APC．
∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
又∵∠CBQ=∠PBN，
∴∠APC+∠PBN=90°．
∴∠PNB=90°．
∴QB⊥AP．
【点评】证明两个线段相等可以转化为证明三角形全等的问题．证明垂直的问题可以转化为证明两直线所形成的角是直角来解决．
