[八年级下册数学期末复习]八年级下册数学练闯考答案

数学(mathematics或maths)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。下面是小学作文网小编整理的八年级下册数学练闯考答案，供大家参考!八年级下册数学练闯考答案

一.选择题(每题4分，共40分)

1.在下列各组图形中，是全等的图形是()

A. B. C. D.

2.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点()

A.高 B.角平分线 C.中线 D.边的垂直平分

3.在下列四个图案中，是轴对称图形的有()个.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

4.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是()

A. B. C. D.

5.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是()

A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙

6.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()

A.8 B.9 C.10 D.11

7.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()

A.8或10 B.8 C.10 D.6或12

8.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A ，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为()

A. B.2 C.3 D.2

9.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=()

A.23° B.46° C.67° D.78°

10.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到 时对应的小朋友可得一朵红花.那么得红花的小朋友是()

A.小沈 B.小叶 C.小李 D.小王

二.填空题(共8小题)

11.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为.

12.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E.若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是.

13.在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图)，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形.那么符合条件的小正方形共有个.

14.Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=4cm，那么斜边AB=cm.

15.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=2，BC=9，则△BDC的面积是.

16.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.若BC=4cm，则△AEG的周长是cm.

17.如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定 个.

18.将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表.则an=.(用含n的代数式表示)

所剪次数 1 2 3 4 … n

正三角形个数 4 7 10 13 … an

三.解答题

19.已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD.

(1)请你写出两个正确结论：①;②;

(2)当∠B=60°时，还可以得出 正确结论：;(只需写出一个)

20.已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗?为什么?

21.某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形 花坛内栽上一棵黄桷树.如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等.请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P(不写作法，保留作图痕迹).

22.如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE.

(1)求证：AG=CE;

(2)求证：AG⊥CE.

23.如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能，请给出证明;如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明.

供选择的四个条件(请从其中选择一个)：

①AB=ED; ②∠A=∠D=90°;

③∠ACB=∠DFE;④∠A=∠D.

24.如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半;

(2)涂黑部分成轴对称图形.

如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙)

25.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.

(1)求证：△ABQ ≌△CAP;

(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，求出它的度数.

(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，则求出它的度数.

26.数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB(填“>”，“<”或“=”).

(2)特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果).

-学年江苏省连云港市灌云县西片八年级(上)第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(每题4分，共40分)

1.在下列各组图形中，是全等的图形是()

A. B. C. D.

考点： 全等图形.

分析： 根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.

解答： 解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，

故选：C.

点评： 此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形.

2.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点()

A.高 B.角平分线 C.中线 D.边的垂直平分

考点： 三角形的内切圆与内心.

专题： 常规题型.

分析： 根据到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点即三角形的内心.

解答： 解：∵到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，

∴点P应是△ABC的三条角平分线的交点.

故选B.

点评： 本题考查了三角形内心的定义，是识记的内容.

3.在下列四个图案中，是轴对称图形的有()个.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

考点： 轴对称图形.

分析： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.

结合定义可得出答案.

解答： 解：由轴对称图形的定义得，第3、4个图形为轴对称图形，故选C.

点评： 本题涉及轴对称图形相关知识，难度一般.

4.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是()

A. B. C. D.

考点： 剪纸问题.

分析： 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

解答： 解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论.

故选C.

点评： 此题主要考查了剪纸问题;学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养.

5.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )

A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙

考点： 全等三角形的判定.

分析： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可.

解答： 解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等;

图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等;

图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等;

故选B.

点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.

6.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()

A.8 B.9 C.10 D.11

考点： 线段垂直平分线的性质.

分析： 由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC.

解答： 解：∵ED是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵△BDC的周长=DB+BC+CD，

∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.

故选C.

点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.

7.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()

A.8或10 B.8 C.10 D.6或12

考点： 等腰三角形的性质;三角形三边关系.

分析： 分2是腰长与底边长两种情况讨论求解.

解答： 解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

∵2+2=4，

∴不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长=2+4+4=10，

综上所述，它的周长是10.

故选C.

点评： 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定.

8.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为()

A. B.2 C.3 D.2

考点： 角平分线的性质;垂线段最短.

分析： 首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值.

解答： 解：过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，

∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3.

故选：C.

点评： 此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

9.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=()

A.23° B.46° C.67° D.78°

考点： 等腰三角形的性质;平行线的性质.

分析：首先由题意可得：AB=AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数.

解答： 解：根据题意得：AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=67°，

∵直线l1∥l2，

∴∠2=∠ABC=67°，

∵∠1+∠ACB+∠2=180°，

∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°.

故选B.

点评： 此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质.此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用.

10.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到时对应的小朋友可得一朵红花.那么得红花的小朋友是()

A.小沈 B.小叶 C.小李 D.小王

考点： 规律型：数字的变化类.

分析： 从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用(﹣1)÷6算出余数，再进一步确定的位置即可.

解答： 解：去掉第一个数，每6个数一循环，

(﹣1)÷6

=÷6

=335…4，

则时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个.

故选：C.

点评： 此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.

二.填空题(共8小题)

11.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为130°.

考点： 全等三角形的性质.

分析： 根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解.

解答： 解：∵△ABD≌△CBD，

∴∠C=∠A=80°，

∴∠ADC=360°﹣∠A ﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°.

故答案为：130°.

点评： 本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上确定出∠C=∠A是解题的关键.

12.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、A C于点D、E.若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9.

考点： 等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.

专题： 压轴题.

分析： 由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案.

解答： 解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，

∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，

∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，

∴OD=BD，OE=CE，

∵AB=5，AC=4，

∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.

故答案为：9.

点评： 此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.

13.在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图)，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形.那么符合条件的小正方形共有3个.

考点： 轴对称图形.

专题： 常规题型.

分析： 根据轴对称图形的概念求解.

解答： 解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形.

故答案为：3.

点评： 此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识.此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有3种画法.

14.Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=4cm，那么斜边AB=8cm.

考点： 直角三角形斜边上的中线.

分析： 根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.

解答： 解：∵Rt△ABC中，斜边上的中线CD=4cm，

∴AB=8cm，

故答案为：8.

点评： 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

15.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=2，BC=9，则△BDC的面积是9.

考点： 角平分线的性质.

分析： 过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解.

解答： 解：如图，过点D作DE⊥BC于E，

∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，

∴DE=AD=2，

∴△BDC的面积= BC•DE= ×9×2=9.

故答案为：9.

点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键.

16.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.若BC=4cm，则△AEG的周长是4cm.

考点： 线段垂直平分线的性质.

分析： 要求周长，首先要求线段的长，利用垂直平分线的性质计算.

解答： 解：因为AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，

所以AE=BE，

因为AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，

所以AG=GC，

△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=4cm.

故填4.

点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质;根据垂直平分线的性质，将△AEG的周长转化为线段BC的长来解答是正确解答本题的关键.

17.如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定4 个.

考点： 等腰三角形的判定.

分析： 分为三种情况：①PA=PB，②AB=AP，③AB=BP，求出即可得出答案.

解答： 解：①作线段AB的垂直平分线，交南北公路有1个点;

②第2个点是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交南北公路，共2个点;

③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交南北公路除A外有1点.

则满足条件的有4个点.

故答案是：4.

点评： 本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，主要考查学生的理解能力和动手操作能力.

18.将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表.则an=3n+1.(用含n的代数式表示)

所剪次数 1 2 3 4 … n

正三角形个数 4 7 10 13 … an

考点： 规律型：图形的变化类.

专题： 压轴题;规律型.

分析： 从表格中的数据，不难发现：多剪一 次，多3个三角形.即剪n次时，共有4+3(n﹣1)=3n+1.

解答： 解：故剪n次时，共有4+3(n﹣1)=3n+1.

点评： 此类题的属于找规律，从所给数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论.

三.解答题

19.已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD.

(1)请你写出两个正确结论：①AD⊥BC;②△ABD≌△ACD;

(2)当∠B=60°时，还可以得出正确结论：△ABC是等边三角形;(只需写出一个)

考点： 等腰三角形的性质;等边三角形的性质.

分析： (1)根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可;

(2)根据等边三角形的判定定理可得△ABC是等边三角形.

解答： 解：(1)①BD=CD;②△ABD≌△ACD;

故答案为：BD=CD，△ABD≌△ACD，

(2)∵AB=AC，∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形.

故答案为：△ABC是等边三角形.

点评： 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键.

20.已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗?为什么?

考点： 等腰三角形的性质;平行线的判定.

分析： 根据等边对等角可得∠B=∠C，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAC=2∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=2∠DAE，然后求出∠B=∠DAE，最后根据同位角相等，两直线平行证明即可.

解答： 解：AE∥BC.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

由三角形的外角性质得，∠DAC=∠B+∠C=2∠B，

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAC=2∠DAE，

∴∠B=∠DAE，

∴AE∥BC.

点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键.

21.某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树.如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等.请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P(不写作法，保留作图痕迹).

考点： 角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.

专题： 作图题;压轴题.

分析： 分别作出AD的垂直平分线及∠ABC的平分线，两条直线的交点即为P点的位置.

解答： 解：(1)①分别以A、D为圆心，以大于 AD为半径画圆，两圆相交于E、F两点;

②连接EF，则EF即为线段AD的垂直平分线.

(2)①以B为圆心，以大于任意长为半径画圆，分别交AB、BC为G、H;

②分别以G、H为圆心，以大于 GH为半径画圆，两圆相交于点I，连接BI，则BI即为∠ABC的平分线.

③BI与EF相交于点P，

则点P即为所求点.

点评： 本题考查的是线段垂直平分线及角平分线的作法.熟知线段垂直平分线及角平分线性质是解答此题的关键.

22.如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE.

(1)求证：AG=CE;

(2)求证：AG⊥CE.

考点： 全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

专题： 证明题.

分析： (1)由正方形的性质得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可;

(2)由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可.

解答： (1)证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，

∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，

∴∠ABG=∠CBE，

在△ABG和△CBE中， ，

∴△ABG≌△CBE(SAS)，

∴AG=CE;

(2)证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE，

∴∠BAG=∠BCE，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAG+∠AMB=90°，

∵∠AMB=∠CMN，

∴∠BCE+∠CMN=90°，

∴∠CNM=90°，

∴AG⊥CE.

点评： 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法;熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

23.如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能，请给出证明;如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明.

供选择的四个条件(请从其中选择一个)：

①AB=ED; ②∠A=∠D=90°;

③∠ACB=∠DFE;④∠A=∠D.

考点： 全等三角形的判定与性质.

分析： 只有FB=CE，AC=DF.不能证明AB∥ED;可添加：AB=ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF.

解答： 解：不能;

选择条件①AE=BE.

∵FB=CE，

∴FB+FC=CE+FC，

即BC=EF，

在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF(SSS)，

∴∠B=∠E，

∴AB∥ED.

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，关键是掌握证明三角形全等的方法，以及全等三角形的性质定理.

24.如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半;

(2)涂黑部分成轴对称图形.

如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙)

考点： 利用轴对称设计图案.

专题： 作图题.

分析： 根据轴对称图形的性质画图，但要注意本题中的要求涂黑部分的面积是原正方形面积的一半;所以图中一共有16个三角形，那就要涂黑8个，而且这8个要是轴对称图形.

解答： 解：不同涂法的图案例举如下：

点评：本题主要考查了轴对称图形的性质，及通过将四边形的转化为三角形来计算面积.

25.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于 点M.

(1)求证：△ABQ≌△CAP;

(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，求出它的度数.

(3)如图2，若点P、Q在运动到终 点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，则求出它的度数.

考点： 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

分析： (1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP;

(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°;

(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°.

解答： (1)证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∵ ，

∴△ABQ≌△CAP(SAS);

(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，

∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…(6分)

(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变.(7分)

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°.

点评： 此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识.

26.数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB(填“>”，“<”或“=”).

(2)特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果).

考点： 等边三角形的判定与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性 质.

专题： 计算题;压轴题.

分析： (1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可;

(2)过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可;

(3)当D在CB的延长线上，E在AB 的延长线式时，由(2)求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.

解答： 解：(1)故答案为：=.

(2)过E作EF∥BC交AC于F，

∵等边三角形ABC，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF=AF，

∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

∵DE=EC，

∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF，

在△DEB和△ECF中

，

∴△DEB≌△ECF，

∴BD=EF=AE，

即AE=BD，

故答案为：=.

(3)解：CD=1或3，

理由是：分为两种情况：①如图1

过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM= BC= ，

∵DE=CE，EN⊥BC，

∴CD=2CN，

∵AM∥EN，

∴△AMB∽△ENB，

∴ = ，

∴ = ，

∴BN= ，

∴CN=1+ = ，

∴CD=2CN=3;

②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM= BC= ，

∵DE=CE，EN⊥BC，

∴CD=2CN，

∵AM∥EN，

∴ = ，

∴ = ，

∴MN=1，

∴CN=1﹣ = ，

∴CD=2CN=1，

即CD=3或1.

点评： 本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解(2)小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解(3)小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊.

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