现在解析几何试题,要求同学们具有较高的运算能力。在解析几何中,解题方法是否得当,常常导致解题的难易、繁简程度的悬殊差异。因此在平时解题时同学们要探求优化运算的方法和技巧,降低运算量,提高解题能力。下面介绍几种优化抛物线运算的方法。
一、设而不求的整体处理在求抛物线方程时,常会遇到两曲线的交点及相关点的问题,若设而不求,整体处理,可简捷求解。例1过抛物线
上一点A(4,2),作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点,求证:直线BC的斜率为定值。解析:设B(
),C(
),则
,
,
,
。由题意,得
,
,则
。故
为定值。二、点差法在抛物线中,直线与抛物线相交弦的中点问题是个重点,也是高考热点。其解法多种多样,点差法是简捷而巧妙的解题方法之一。例2给定抛物线
,过点B(2,4)能否作直线l,使l与抛物线
交于两点
,且点B是线段
的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由。解析:设
(
),
(
),代入抛物线方程得
。两式相减并分解因式,得:
∵B(2,4)是
的中点,
,代入上式得,即
。若直线l存在,则方程为
,即
。将
代入抛物线方程得,
。因为其判别式△<0,故此直线与抛物线不相交,这样的直线不存在。三、应用韦达定理抛物线中涉及到弦长、弦中点、曲线与直线交点以及原点为垂足的垂直问题,运用韦达定理可避免求交点坐标,从而简化解题过程。例3直线l:
交抛物线
于A、B两点,当△AOB(O为原点)的面积为2时,求实数k的值。
分析:因直线l与y轴的交点为M(0,1),而△AOB的面积等于△AOM和△BOM的面积之和,若△AOM和△BOM都以OM为底边,这样△AOB面积就与A、B两点的坐标相联系。解析:设A(
),B(
),则
即
把
代入
中得,
。因此,
。代入上式得
,解得
。四、常数代换,化成齐次方程抛物线弦的两端点与原点连线的斜率问题,具有一定的难度和深度,若用常规方法解决,运算量大,过程复杂,但化为齐次方程,过程简洁。例4抛物线
与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之和为1,求直线l的方程。分析:用常规方法去解,相当麻烦。但若把直线方程设出来,用含有x、y的式子来表示常数项,代入到抛物线方程中,可得一个关于x、y的齐次方程,运用韦达定理即可解决问题。解析:设直线l的方程为
,即
,代换抛物线方程
中的系数1,得
,整理得关于x,y的齐次方程
。方程两边同时除以
,得
,显然
是该方程的两根。由条件
可知,
。故直线l的方程是
。
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