数列求和与综合应用
【考纲要求】
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；
2.掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式
3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前
项和的几种常用方法；
4.能解决简单的实际问题.
【知识网络】
【考点梳理】
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.
有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.
有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.
数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑.
【典型例题】
类型一：数列与函数的综合应用
例1.对于数列
，规定数列
为数列
的一阶差分数列，其中
；一般地，规定
为
的k阶差分数列，其中
且k∈N*，k≥2。
（1）已知数列
的通项公式
。试证明
是等差数列；
（2）若数列
的首项a1=―13，且满足
，求数列
及
的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断
是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。
解析：（1）依题意：
，
∴
∴
，
∴数列
是首项为1，公差为5的等差数列。
（2）
，
（3）令
，
则当
时，函数
单调递减；
当
时，函数
单调递增；
又因
，
而
，
所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。
举一反三：
【变式1】已知数列
的首项
，
，
．
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的
，
，
；
（Ⅲ）证明：
．
解析：（Ⅰ）
，
，
，
又
，
是以
为首项，
为公比的等比数列．
，
．
（Ⅱ）设
，
则
，
当
时，
；当
时，
，
当
时，
取得最大值
．
原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的
，有
．
令
，则
，
．
原不等式成立．
【高清课堂：函数的极值和最值388566典型例题三】
【变式2】已知数列
和
满足：
，
，
其中
为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数
，证明数列
不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
解析：（Ⅰ）假设存在实数
，使得数列
是等比数列，则
，
，
必然满足
由
得
，显然矛盾，
即不存在实数
使得数列
是等比数列。
（Ⅱ）根据等比数列的定义：
即
又
所以当
时，数列
不是等比数列；当
时，数列
是等比数列.
类型二：数列与不等式
例2.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:
.
解析：
（1）当q=1时，Sn=na1，从而
，
（2）当q≠1时，
， 从而
由（1）（2）得:
.
∵ 函数
为单调递减函数.
∴
∴
.
举一反三：
【变式1】数列｛xn｝满足：x1＝0，xn＋1＝－xn2＋xn＋c(n∈N*)
（I）证明：数列｛xn｝是单调递减数列的充分必要条件是
（II）求
的取值范围，使数列｛xn｝是单调递增数列。
解析：（I）必要条件
当c＜0时，xn＋1＝－xn2＋xn＋c＜xn
数列｛xn｝是单调递减数列充分条件
数列｛xn｝是单调递减数列
x1＞x2＝－x12＋x1＋c
c＜x12＝0
得：数列｛xn｝是单调递减数列的充分必要条件是c＜0
（II）(i)假设｛xn｝是递增数列，由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c。
由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.
由xn＜xn＋1＝－xn2－xn＋c知，对任意n≥1都有
①
注意到
②
由①式和②式可得
即
由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有
.③
反复运用③式，得
.
和
两式相加，知
对任意n≥1成立.
根据指数函数
的性质，得
，故
.
（ii）若
，要证数列{xn}为递增数列，即xn＋1－xn＝－xn2＋c＞0.
即证
对任意n≥1成立。
下面用数学归纳法证明当
时，
对任意n≥1成立.
（1）当n＝1时，x1＝0＜
，结论成立.
（2）假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即：
，因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间
内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜
，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立.
故
对任意n≥1成立.
因此，xn＋1＝xn－xn2＋c＞xn，即{xn}是递增数列.
由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是
.
【变式2】设数列
的前
项和为
．已知
，
，
．
（Ⅰ）设
，求数列
的通项公式；
（Ⅱ）若
，
，求
的取值范围．
解析：（Ⅰ）依题意，
，即
，
由此得
．
因此，所求通项公式为
，
．①
（Ⅱ）由①知
，
，
于是，当
时，
，
，
当
时，
．
又
．
综上，所求的
的取值范围是
．
类型三：实际应用问题
例3.某地区现有耕地10000公顷，规划后粮食单产比现在增加
，人均粮食占有量比现在提高
，如果人口年增长率为
，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=
，人均粮食占有量=
）
解析：方法一：由题意，设现在总人口为
人，人均粮食占有量为
吨，现在耕地共有
公顷，于是现在的粮食单产量
吨/公顷，后总人口为
，人均粮食占有量
吨，若设平均每年允许减少
公顷，则耕地共有(
)公顷，于是后粮食单产量为
吨/公顷.
由粮食单产后比现在增加
得不等式：
化简可得
即
，
∴
(公顷)
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.
方法二：由题意，设现在总人口为
人，粮食单产为
吨/公顷，现在共有耕地
公顷，于是现在人均粮食占有量
吨/人，后总人口为
，粮食单产
吨/公顷，若设平均每年允许减少
公顷，则后耕地将有(
)公顷，于是后粮食总产量为
，人均粮食占有量为
，由人
举一反三：
【变式1】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的
个月内累积的需求量
（万件）近似地满足
.按比例预测，在本年度内，需求量超过
万件的月份是
A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．9月、10月
【答案】C；
解析：第
个月份的需求量超过
万件，则
解不等式，得
，即
.
【变式2】某地区原有森林木材存量为
，且每年增长率为
，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为
，设
为
年后该地区森林木材存量.
（1）写出
的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于
,如果
，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取
）.
解析：（1）依题意，第一年森林木材存量为
，
1年后该地区森林木材存量为：
，
2年后该地区森林木材存量为：
，
3年后该地区森林木材存量为：
，
4年后该地区森林木材存量为：
，
……
年后该地区森林木材存量为：
（2）若
时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于
，
即
，
解得
，即
，
∴
，
∴
.
答：经过8年该地区就开始水土流失.
【变式3】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）
【答案】设汽车使用年限为
年，
为使用该汽车平均费用.
当且仅当
，即
（年）时等到号成立.
因此该汽车使用报废最合算.
【变式4】某市底有住房面积1200万平方米，计划从起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求底和底的住房面积；
（2）求2030年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
【答案】
（1）底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米），
底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=1282（万平方米），
∴底的住房面积为1240万平方米；
底的住房面积为1282万平方米.
（2）底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，
底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，
底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，
…………
2030年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20]万平方米
即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20
≈2522.64（万平方米），
∴2030年底的住房面积约为2522.64万平方米.
