畅想尼亚加拉大瀑布

十月中旬，纽约大地，红枫似火。老顾从长岛驾车，奔赴美加边境的水牛城参加国际会议。一路上金秋景色，美不胜收。纽约州有很多具有历史文化特色的小镇，星罗棋布着维多利亚式的建筑和哥特式的教堂，在红叶的衬托下更加古典优雅。汽车在高速公路上飞驰，翻越山脊时，极目远眺，漫山遍野，深绿、浅橘、明黄、艳红，令人震撼，令人心痛。天空湛蓝，银杏树叶橙黄，高度饱和的对比色，令人目眩；间或路旁一棵枫树，秋阳下猩红耀眼，宛若烈焰腾空。沿途很多湖泊，一汪秋水，倒映着苍穹和山林，湖光山色，彩林缤纷。

夕阳西下时分，随意在山谷的路边找到一家小店，依山傍水，景致清幽。湖面如镜，静谧无声，枫林的倒影在夕阳余晖中静静地燃烧。小店由民居改成，全木结构，厚重古朴，原木桌面被食客摩挲得铮明瓦亮。美式烹饪只有一道名菜：牛排加薯条，每家小店的牛排都有独一无二的风味。这家的牛排据说是堪萨斯城的风格，粉嫩肥厚，柔软多汁，中心留有一小块琥珀般的脂肪，有一股奇特的腻香。店外暮色苍茫，店内香氛氤氲，食客们的英语带有纽约上州的口音，墙壁上的招贴画已经淡黄，画着上个世纪80年代的明星，也有淡彩铅笔绘制的小镇街景，教堂钟楼，糖果小店和消防局，就像随意哪个古老破败的新英格兰小镇。令人恍惚间顿觉时光倒流，乡愁莫名。

会议在水牛城召开，这里有举世闻名的尼亚加拉大瀑布，在印第安语中是“雷神之水”的意思。当年，法国皇帝拿破仑的兄弟吉罗姆·波拿巴在这里渡过了蜜月，从此，这里便成为欧美的蜜月胜地，其中的一个瀑布就被称为是“新娘的婚纱”（Veil of the Bride Falls）。另外两个瀑布分别是美国瀑布和马蹄瀑布，水势澎湃，骤然陡落，怒涛千顷，雷霆万钧。尼亚加拉大瀑布是世界上流速最快的瀑布，气势磅礴，声震如雷。老顾望着瀑布以排山倒海之势奔流而下，不禁感慨造化的神功，人类的渺小。这宛若时代的洪流，日夜奔腾，无可阻挡。短暂的人生，意义何在？一切爱恨情仇，休戚荣辱，终归会被时代冲刷而去；那么短暂的学术生涯，究竟会在天地间留下什么？

学术交流

途中老顾访问了两所大学，纽约州立大学布法罗分校（University at Buffalo）和雪城大学 (Syracuse Univesity)。见到了神交已久的乔教授、徐教授、沈教授和周教授，这些教授都是国际知名学者，也结识了很多年轻朋友。在布法罗大学讲解了如何用最优传输理论的几何理论来理解对抗生成网络中的模式崩溃问题。徐教授比较熟悉高洁教授和老顾在物联网领域的工作，他告诉老顾我们基于共形几何的物联网路由算法解决了这个领域的一个基本难题，我们关于弯曲地形表面的路由算法几乎终结了这一子领域。这令老顾非常惭愧，其实主要的工作都是由高教授和学生们完成，老顾主要是提供了Ricci流的理论工具。

雪城大学坐落在雪城神话般的山巅之上，校园中飘荡着悠远绵长的钟楼音乐。文学院哥特式的建筑高耸入云，大讲堂的建筑配着希腊式廊柱和罗马式穹庐，庄严肃穆。数学学院是文艺复兴风格的建筑，花岗岩地基，青砖侧墙，门面上古希腊武士浮雕，门前是弓箭手青铜雕塑。整幢楼内部是空旷的大厅，与卡耐基图书馆合而为一。古老的木质桌椅和地板，光滑明亮，玻璃棚顶，阳光倾泻而下，给人以登堂入室，灵魂升华的神圣感。在数学系，老顾介绍了曲面Ricci流的理论和工程方面的应用，也介绍了蒙日-安培方程理论和最优传输理论的应用。沈教授和老顾交流了用函数逼近理论和几何理论来理解深度学习的异同，和几何分析方法在这一领域的潜力。

圆桌会议

国际网格生成圆桌会议（International Meshing Roundtable）是一个非常独特的会议。计算机领域的会议大多涵盖多个主题，并且这些主题与时俱进，核心问题、热门方法、价值观念进化神速。一个问题从涌现提出、到热炒高潮，再到销声匿迹，往往周期不过五六年。但是这一会议，三十年以来只有一个专题：网格生成。与其他会议相比，这一会议非常踏实稳健，没有太多的喧嚣浮躁、自我炒作。与会者也比较诚恳直白，虽然大家都唇枪舌剑，直言不讳，但是令人感到言之有据，敦厚质朴，没有计算机领域学者身上常见的侵略性人格。近些年来被爆炒的深度学习技术似乎还没有深入到这一会议，这在计算机领域是异常罕见的。与会学者多半来自欧洲，具有欧洲的传统学术风范，同时几乎一半与会者来自工业界和国家实验室，例如西门子、波音、罗斯-罗伊斯等机械制造业的巨擘。很多白发苍苍的学者终身开发网格生成的工业软件，一直奋战在计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助分析仿真（CAE）的第一线。他们具有非常宝贵的第一手经验，对于CAD/CAE的理解深刻老辣，他们的评价往往一针见血、一剑封喉。

由于这个会议的参会者来自工业界和学术界，两个领域学者的思想方法、价值观念、观察角度非常不同，彼此碰撞交锋、互补融合非常有意义。CAD/CAE工业软件开发需要丰富的知识和实际经验，对于物理、数学、机械和软件工程方面的技能要求很高。和传统计算机图形学软件相比，CAD/CAE软件不注重视觉效果的花哨，但是追求计算的精度和效率，特别是飞行器的模拟仿真，对于稳定性和可靠性要求非常高。因此这种软件开发所需的人才极为稀缺。同时开发周期往往需要5、6年，市场开拓周期更是以计。CAD/CAE软件开发需要巨额投资和数十年技术积累，金融和技术壁垒都非常高。目前，这一领域被西门子、达索、Autodesk和Ansys等巨头瓜分。与电影动漫工业、电子游戏业相比，CAD/CAE市场要大几个数量级，但是这方面的学者却非常少。CAD/CAE领域的研究需要更多的知识储备和更强的技术实现能力，同时这一领域相对为冷门方向，论文发表相对困难。对于学术界而言，通常的衡量标准在于发表论文数目，因此要求学者不停地发明日新月异的算法，追赶风云变幻的热潮，往往一个算法尚未成熟，就已经过时。这本质上是与工业界的需求背道而驰。工业界需要成熟可靠的算法，真正能够经得起实践检验，而非华而不实、似是而非的所谓成果。同时，学术界缺乏资源，学生的编程能力不够成熟，软件管理松散，学生毕业后系统无法维护迭代。另外学术界无法接触到生产前沿，无从得到用户反馈，只能闭门造车，因此开发的软件系统无法达到产品化的程度。工业界财力雄厚，人员充足，管理严格，同时有大量的用户反馈，这些优势决定了CAD/CAE工业软件的开发主要由工业界完成。但是工业界倾向于采用成熟的算法，默守陈规，无法及时拥抱新兴技术，因此需要从学术界得到新思想、新方向和新算法。一般而言，工业界通过招收学术界培养出来的毕业生来实现换血机能，年轻一代会将学术界的新方法融入到工业中去。

年轻人的迷茫

老顾从事教育十数年，接触了大量的年轻学子，深深了解他们的思想误区。对于很多本科学生而言，他们往往挣扎于专业的选择：计算机还是数学。一门学科的困难程度往往和选择这门学科的人数呈反比。由于学习计算机科学的学生很多，教材异常丰富，各种例程网络上唾手可得，平时非常容易找到同道进行讨论，因此学习难度相对较低；相反，纯粹数学学习人数非常稀少，学习者需要经年累月地勤奋思考，由于概念的抽象、方法的复杂，学习难度很高。举例而言，一个年轻人理解各种排序算法需要几个小时，动手编程实现，需要几个星期；若让他真正理解黎曼度量，而非复述定义，或者掌握全纯线丛的精髓，熟练运用，至少需要数年。当然，出于现实经济原因，计算机专业就业市场更加广阔，因此很多学生倾向于选择计算机专业。另有很多年轻人，特别是高中时接触过现代数学的学生，开始体悟出纯粹数学的美感，不再满足于肤浅直白的思想体系，他们往往倾向于选择数学，但又担心自身的才华难以胜任，缺乏足够的勇气。老顾内心非常鼓励年轻人多学数学，尤其是纯粹数学，本科学得越艰苦，以后回报会越大。深刻的思想体系是学出来的，最为便捷的途径就是学习数学、物理等基础学科。研究生之后再选择专业方向。

到了研究生阶段，很多年轻人更加迷茫。数学专业的学生往往体会到数学的纯粹优美，多年艰辛尝试后无法取得实质性突破，或者怀疑如此抽象的理论是否具有任何实用价值。老顾觉得，深刻的数学理论具有非常巨大的实际价值，往往很多技术真正的突破来自于深刻数学概念和方法的引进。但是，洞察到这些传统技术的瓶颈、找到合适的理论工具加以解决，需要艰苦的积累和不懈的努力。

很多计算机专业的学生也很迷茫，当他们面临科研难题时，往往采用符合直觉的计算机技术来尝试解决，用年轻人的热血来取代思想的深刻，而往往碰得头破血流。也有人狂热地阅读计算机论文，试图从纷繁杂乱的各派学说中提炼出精髓。这种方法对于掌握论文发表的套路而言，非常行之有效，但是对于揭示问题本质而言，非常容易令人陷入混乱。但是，绝大多数的研究生，将这种纷繁杂乱的知识总汇视为安身立命的真功夫，满足于发表论文的数量。也有学生希望将宝贵的青春耗费在追求真正深刻深远的研究课题上，殚精竭虑、日益憔悴，信心逐渐动摇。更有学生认为计算机真正的领导者在于大公司的研究部门，不遗余力地寻求实习机会。这些大公司研究部门具有丰富的资源，形成了成熟的论文生产线，同时在很多工程领域具有话语权和政治势力，成为潮流引领者。紧跟潮流，加入强者，被这些学生视为捷径。如何在工程科学领域进行学术研究，一直是老顾深入思考的问题。这次会议，给了老顾更为深刻的体悟。

四边形网格生成

图1. 四边形网格。

在计算机辅助设计领域，设计师所设计的产品最终要被加工出来，例如各种金属模具需要被数控机床从金属毛坯逐渐切削打磨出来。因此，车刀的速度和加速度需要事先被精确规划和计算出来。这要求产品表面具有高阶的可微性。动漫领域常用的三角网格只能表达连续曲面，无法表示高阶可微的光滑曲面。因而在CAD领域中，人们经常采用分片多项式来表达几何形状，即所谓的样条曲面，例如常见的NURBS。将复杂曲面表达成样条曲面的前提条件是得到曲面的四边形剖分，生成四边形网格。通常要求网格整体尽量规则，每个四边形大小均匀，形状方正，流线走向符合曲面本身的几何特征。因此，如何自动生成规则四边形网格剖分一直是CAD/CAE领域的中心问题之一。目前的算法，需要人工调整和编辑，无法达到自动化。

图2. 四边形网格。

图3. 四边形网格上的奇异点。

核心问题

给定一个四边形网格，我们考察顶点、边和面的连接关系。每个顶点相邻边的条数被称为是这个顶点的拓扑度。拓扑度为4的顶点被称为是正常顶点，否则被称为奇异顶点。目前，通行的规则四边形网格生成算法大致如下【2】：

图4. 第一步：确定奇异点的位置和拓扑度。

给定曲面，我们首先决定奇异点的位置和拓扑度。任给一个四边形网格，我们将每个面视为标准正方形，如此我们得到了一个黎曼度量。这个度量几乎处处平直，所有的曲率集中在奇异点处。我们用

来表示奇异点的构型，包括位置和拓扑度信息。根据高斯-博纳定理，曲面的总曲率等于曲面的欧拉示性数乘以

，因此，所有奇异点的拓扑度满足公式：

,

这里左侧取遍所有的奇异点，右侧是曲面的欧拉示性数的4倍。但是，这只是一个必要条件，并不充分。

图5.第二步：构造光滑标架场（cross field）。

第二步，我们在曲面上构造光滑的标架场，即每一点的切平面上指定一个十字架，十字架在奇异点之外，处处光滑渐变。我们可以构造一个平直度量，使得曲率集中在奇异点处。给定奇异点构型

，对应的高斯曲率等于

。这样的黎曼度量可以用Ricci流的方法计算出来。

光滑标架场可以如下构造：我们随便在曲面上找一正常点，指定一个标架（cross），然后将这一标架平行移动到曲面的任意一点。具体来说，给定任意一个终点，我们任选一条不经过奇异点的路径连接起点和终点，将标架沿着路径平行移动到终点。如果这一算法奏效，则平行移动的结果和路径选取无关。这等价于说平直度量诱导的和乐群（holonomy group）等于平面旋转群的子群，

。曲面上固定一点，给定任意一条经过这点的封闭曲线，我们从这点出发沿着这条曲线平行移动一个单位切向量，当我们回到这点时，所得切向量和初始切向量彼此相差一个旋转。取遍过这点的所有封闭曲线，每条曲线都诱导一个旋转，所有这些旋转构成的群，被称为是曲面的黎曼度量所诱导的和乐群。这一条件被称为是和乐条件（holonomy condition）。

如何选取奇异点的构型

，使得诱导的平直度量满足和乐条件，这成为四边形网格生成的最为基本的问题之一。在长达30年的漫长岁月中，在十数万人参与的庞大工业中，这一基本问题一直没有彻底解决。

图6.第三步：计算整体布局。

第三步，假设得到光滑的标架场，我们从奇异点出发，沿着标架场中的每个标架的轴向，跟踪得到光滑流线，我们成为奇异轨道。通过全局调整，使得奇异轨线闭合，这些奇异轨线将曲面整体剖分，每个胞腔是一个拓扑四边形。

这一步的数学提法是曲面共形结构变形，有大量现成的经验性方法。

图4.第四步：细分优化，得到四边形网格。

最后一步，将整体布局进行细分，局部调整后得到四边形网格。

整个算法流程中，最为关键、最为困难的一步在于如何决定奇异点的构型，使得和乐条件被满足。

三十多年以来，无数工程师和学者都被这一问题所困扰，很多学者明确地将这一开放问题公诸于世，寻求答案。在工业界，每年有大量的新产品被设计出来，设计师们用人类的灵性通过频繁试错而找到了可行解。每个设计师都有自己的诀窍，这些诀窍世代口耳相传，成为介于艺术和技术之间的机密，却无法形成行业规范，被复制推广。

几年前，老顾的团队开始接触规则四边形网格生成问题，从而逐渐聚焦到奇异点构型与和乐群关系这一问题。在考察这一领域各个门派方法的时候，发现大量异常酷炫的论文，各派学说，令人眼花缭乱，莫衷一是。但我们静下心来，独立深入思考之后，我们认清现存的方法并没有揭示问题的本质。纵然舌灿莲花，光环耀眼，浮华之后是思想苍白。

传统的思想方法有几个误区：首先，绝大多数人认为四边形网格的奇异点构型，本质是拓扑问题，因此止步于高斯-博纳定理条件。实际上，人们追求的是四边形网格与初始黎曼度量共形，因此本质上是共形几何问题。其次，很多实际应用中，人们希望四边形网格的边沿着曲面的主曲率方向，因此人们倾向于认为这一问题依赖于曲面的外蕴几何，即和曲面在三维欧式空间中的嵌入方式有关。但实际上，这一问题只和曲面的黎曼度量有关，即内蕴几何。第三点，人们认为只要找到光滑的标架场，就可以构造四边形网格，因此标架的方向是本质的，标架的大小无关。但实际上，标架的大小至关重要，四边形网格并非和标架场等价，而是和复的微分形式等价，而复微分形式包含标架的方向和大小。第四点，人们可以通过经验性方法进行局部调整，从而实现四边形剖分。因此，很多人认为这是一个局部问题。本质上，这一问题是一个全局问题，牵一发而动全身。从数学角度而言，这一问题应该用上同调语言来描述。

全纯线丛理论

实际上，这一问题的理论早在数百年前就已经被黎曼、阿贝尔、雅克比等数学家发展出来了。如果我们将四边形网格的每个面看成是单位正方形，那么我们可以为每个顶点、边和面构造一个局部坐标卡，使得坐标变换都是双全纯的，如此这个四边形网格就是一张黎曼面（Riemann Surface）。在每个面

上，构造全纯微分形式

，那么由于局部坐标之间可能相差一个属于群

的旋转，

并不是全局定义的。但是在所有面和边上的局部坐标系中，

消除了旋转的歧义性，因而是全局定义的。我们再将

拓展到顶点对应的局部坐标系中，就会得到一个全局定义的亚纯四次微分（Meromorphic Quatic Differential）。由此，我们证明了四边形网格和亚纯四次微分的等价性。那么，四边形网格的奇异点构型等价于亚纯四次微分的除子（Divisor），而亚纯四次微分的除子必须满足Abel-Jacobi定理。

从全纯线丛理论来看，每个四边形网格诱导了一个全纯线丛，不同的四边形网格诱导的线丛彼此全纯等价，因此两个全纯线丛之商是平凡丛。全纯线丛的示性类由网格的奇异点构型给出，因此两个网格的奇异点构型之差是平凡丛的示性类，即是一个主除子，其Abel-Jacobi映射的像为Jacobi簇中的零点。详细的细节请参考《一个迟到的基本定理》，或者参考文献【1】。

治学的思考

在会议中，有学者明确地将这一问题作为未解决的公开问题再度提了出来【2】，并且他认为这是最为基本而重要的问题之一。老顾同这位学者和一些有兴趣的专业同行进行了深入讨论，解释了我们的理论成果。在长达三十年的漫长岁月中，十数万专业人士几乎终身进行网格生成的研究和软件开发，大家几乎每天都被这一问题所困扰，都意识到解决这一问题的迫切性。但是，无论工业界还是学术界，都没有将这一问题彻底看清。这令老顾非常困惑。或许这一理论问题早已被解决，但是被历史埋没。

工业界的专业人士注重商业利益，迫于生存压力而不去追究深层次的几何原理，大公司的研究部门强调研究服务于产品，因此有急功近利的倾向。研究员们不愿冒险进行远离主流方法的探索，虽然积累了大量的第一手材料，培养了强烈的直觉，但是没有尝试共形几何的深刻方法。学术界的朋友主要用计算机科学的方法来设计算法，传统计算机科学教育体系中并没有微分几何、共形几何，阿贝尔-雅克比定理不在传统计算机科学知识体系之中。因此，大家都错过了这一显而易见的理论成果。

当老顾向同行讲解这一工作时，老顾发现工业界的同行很多都是计算力学和机械设计出身，对于黎曼度量、高斯曲率的内蕴性不甚了解；计算机科学背景的同行也不熟悉黎曼面理论。在现实生活中，新思想被采纳是非常艰辛和困难的。当初老顾试图说服自己的学生投身到这一基本的问题之中，结果屡受挫折。大多数学生紧贴主流，追逐热点，以发表论文为终极目的，毫不犹豫地投身到深度学习或者图形学的主流方向之中。只有大连理工大学的罗教授、雷教授领导的团队，尤其是团队骨干郑晓朋博士，义无反顾地投身到这一方向，废寝忘食，殚精竭虑，苦苦求索，越挫越奋。十数万专业人士，三十年没有解决的问题，其难度可想而知。长期艰苦的工作，严重地损害了郑博士的健康，常年的孤独寂寞，不被人理解，使得他几乎抑郁成疾。他的同事们发表了大量的论文，这使得他的工作无法符合当前的学术评价体系，令他承受了巨大的精神压力。老顾觉得，绝大多数学术论文最终都会被历史淘汰，但是这个奠基性的理论成果应该能够真正经得起时间的考验。学术的评价系统应该鼓励这些真正的学者。

老顾也希望其他学生们能够独立思考，找到问题本质，用严密的现代数学理论来加以解决，当年丘成桐先生就是这样教导老顾的。这意味着学生们必须要孤独地走出一条人迹罕至的小路，这条路蜿蜒崎岖而又充满风险。只有义无反顾地坚持下去，才可能最后取得令人欣慰的成果。毕竟大自然的几何结构独立于人类社会，只有最纯净的心灵才能感悟到自然的深刻规律。

夜幕中，传来尼亚加拉瀑布的雷鸣，时代依然故我，日夜奔腾，将人类的浮躁和喧嚣，无情涤荡，只留下质朴和深刻。