问题补充:
解答题已知在直角坐标平面xOy中,有一个不在y轴上的动点P(x,y),到定点F(0,)的距离比它到x轴的距离多,记P点的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II)已知点M在y轴上,且过点F的直线l与曲线C交于A、B两点,若△MAB为正三角形,求M点的坐标与直线l的方程.
答案:
解:(Ⅰ)依题意知,动点P到定点F(0,)的距离比它到x轴的距离多,
∴曲线C是以原点为顶点,F(0,)为焦点的抛物线(除去顶点)
∴
∴2p=1
∴曲线C方程是x2=y(y≠0);
(Ⅱ)∵点M在y轴上,且过点F的直线l与曲线C交于A、B两点,△MAB为正三角形,
∴直线l的方程为
当时,x=±,∴|AB|=1
∴|MF|=
∵F(0,)
∴或.解析分析:(Ⅰ)由题意知,P的轨迹满足抛物线的定义,故可求出抛物线的焦点,继而求出抛物线方程.(Ⅱ)先确定直线l的方程,求出|AB|,|MF|,根据F(0,)即可确定M的坐标.点评:本题考查抛物线的定义与标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,正确求解抛物线方程是关键.